有限元编程示例matlab + C++

提示：文章写完后，目录可以自动生成，如何生成可参考右边的帮助文档

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前言

本文内容大部分来自b站的博主易木木响叮当的视频

还有就是参考曾攀老师《有限元基础教程》这本书

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一、1D 三连杆结构的有限元分析过程

二、编程示例

matlab代码：

function k=Bar1D2Node_Stiffness(E,A,L)
%计算单元的刚度矩阵
%输入弹性模量E，横截面积A和长度L
%输出单元刚度矩阵k(2X2) 
%---------------------------------------
k=[E*A/L -E*A/L; -E*A/L E*A/L];
end


function z=Bar1D2Node_Assembly(KK,k,i,j)
%该函数进行单元刚度矩阵的组装
%输入单元刚度矩阵k，单元的节点编号i、j
%输出整体刚度矩阵KK
%-----------------------------------
DOF(1)=i;
DOF(2)=j;
for n1=1:2
   for n2=1:2
      KK(DOF(n1),DOF(n2))= KK(DOF(n1),DOF(n2))+k(n1,n2);
   end
end
z=KK;
end

主函数：

format long
% 典型例题[2.3(1)]P17
%弹性模量
E1 = 2*10^5;E2 = E1;E3 = E1;   
%面积
A3 = 0.06;A2 = 0.5*A3;A1 = A3/3;    
 %长度
L1 = 0.1;L2 = L1;L3 =L1;                 
k1 = Bar1D2Node_Stiffness(E1,A1,L1);
k2 = Bar1D2Node_Stiffness(E2,A2,L2);
k3 = Bar1D2Node_Stiffness(E3,A3,L3);
KK = zeros(4,4);
KK = Bar1D2Node_Assembly(KK,k1,1,2);
KK = Bar1D2Node_Assembly(KK,k2,2,3);
KK = Bar1D2Node_Assembly(KK,k3,3,4);
% 直接法求解整体刚度矩阵
k = KK([1:3],[1:3]);%u4 = 0;应用化1置0
p = [-100;0;50];
% 高斯消去法求解线性方程组
u = k\p

对代码中单元刚度矩阵组装函数的理解

将其写成C++程序为:

注意：这个C++程序需要将Eigen库添加到VS中才可以直接用

#include 
#include 
using namespace Eigen;
using namespace std;

MatrixXf Bar1D2Node_Stiffness(float E, float A, float L)
{
	//计算单元刚度矩阵，输入弹性模量E，横截面积A和长度L
	//输出单元刚度矩阵k(2X2) 

	MatrixXf k(2, 2);  //单元刚度矩阵的大小
	k << E * A / L, -E * A / L, -E * A / L, E* A / L;
	return k;
}

MatrixXf Bar1D2Node_Assembly(MatrixXf KK, MatrixXf k, int i, float j)
{
	//单元刚度矩阵的组装
	//输入单元刚度矩阵k，单元的节点编号i、j
	//输出整体刚度矩阵KK

	Vector2i Dof; //定义一个2*1的向量
	Dof << i, j;

	for (int n1 = 0; n1 < 2; n1++)
	{
		for (int n2 = 0; n2 < 2; n2++)
		{
			KK(Dof(n1) - 1, Dof(n2) - 1) = KK(Dof(n1) - 1, Dof(n2) - 1) + k(n1, n2);
			//注意：c++中数组和矩阵都是从0开始编号的
		}
	}
	return KK;
}

int main()
{
	//弹性模量
	float E1 = 2e5;   float E2 = E1;      float E3 = E1;
	//面积
	float A3 = 0.06;  float A2 = A3 / 2;  float A1 = A3 / 3;
	//长度
	float L1 = 0.1;   float L2 = L1;      float L3 = L1;

	//分别计算三个单元的单刚
	MatrixXf k1(2, 2); MatrixXf k2(2, 2); MatrixXf k3(2, 2);//将三个单刚初始化
	k1 = Bar1D2Node_Stiffness(E1, A1, L1);
	k2 = Bar1D2Node_Stiffness(E2, A2, L2);
	k3 = Bar1D2Node_Stiffness(E3, A3, L3);

	//组装刚度矩阵
	MatrixXf KK(4, 4);    //总刚的大小
	KK.setZero(4, 4);
	KK = Bar1D2Node_Assembly(KK, k1, 1, 2);
	KK = Bar1D2Node_Assembly(KK, k2, 2, 3);
	KK = Bar1D2Node_Assembly(KK, k3, 3, 4);

	//求解节点位移
	MatrixXf kk(3, 3);
	kk = KK.block<3, 3>(0, 0);    //%节点位移u4 = 0;应用化1置0

	Vector3f P(-100, 0, 50);      //节点力
	Vector3f x(0, 0, 0);

	x = kk.lu().solve(P);         //LU分解求解线性方程组kk * x = P

	system("pause");
	return 0;
}

程序写的很粗糙，希望之后能够写的有美感

三、二维杆单元

3.1 例题以及基础理论

《有限元基础教程》 39页 

3.2 编程示例

单元刚度矩阵函数

function k=Bar2D2Node_Stiffness(E,A,x1,y1,x2,y2,alpha)
%该函数计算单元的刚度矩阵
%输入弹性模量E，横截面积A
%输入第一个节点坐标（x1,y1），第二个节点坐标（x2,y2），角度alpha（单位是度）
%输出单元刚度矩阵k(4X4)。
L=sqrt((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1));%杆的长度
x=alpha*pi/180;
C=cos(x);
S=sin(x);
k=E*A/L*[C*C C*S -C*C -C*S
            C*S S*S -C*S -S*S
             -C*C -C*S C*C C*S
             -C*S -S*S C*S S*S];
end

单元刚度的组装函数

function z = Bar2D2Node_Assembly(KK,k,i,j)
%该函数进行单元刚度矩阵的组装
%输入单元刚度矩阵k，单元的节点编号i、j
%输出整体刚度矩阵KK
DOF(1)=2*i-1;
DOF(2)=2*i;
DOF(3)=2*j-1;
DOF(4)=2*j;
for n1=1:4
   for n2=1:4
      KK(DOF(n1),DOF(n2))= KK(DOF(n1),DOF(n2))+k(n1,n2);
   end
end
z=KK;
end

主程序

% 有限元分析及应用简例4.3
%平面杆单元的有限元分析
%给出基础物理量
E=2.95e11;A=0.0001;
%给出节点坐标
x1=0;y1=0;x2=0.4;y2=0;x3=0.4;y3=0.3;x4=0;y4=0.3;
%给出平面杆的角度，用于求单刚
alpha1=0;alpha2=90;alpha3=atan(0.75)*180/pi;
%求每个单元的刚度矩阵
k1=Bar2D2Node_Stiffness (E,A,x1,y1,x2,y2,alpha1)
k2=Bar2D2Node_Stiffness (E,A,x2,y2,x3,y3,alpha2)  
k3=Bar2D2Node_Stiffness (E,A,x1,y1,x3,y3,alpha3)
k4=Bar2D2Node_Stiffness (E,A,x4,y4,x3,y3,alpha1)  
%建立整体刚度方程
%由于该结构共有4个节点，因此，结构总的刚度矩阵为KK(8×8)，先对K清零，
%然后四次调用函数Bar2D2Node _Assembly进行刚度矩阵的组装。

KK=zeros(8,8);
KK=Bar2D2Node_Assembly (KK,k1,1,2);
KK=Bar2D2Node_Assembly (KK,k2,2,3);
KK=Bar2D2Node_Assembly (KK,k3,1,3);
KK=Bar2D2Node_Assembly (KK,k4,4,3)
%边界条件的处理及刚度方程求解
k=KK([3,5,6],[3,5,6])
p=[20000;0;-25000]
u=k\p

四、平面3节点三角单元分析的算例

4.1案例分析

4.2 matlab程序

单元刚度矩阵

function k=Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,ID)
%该函数计算单元的刚度矩阵
%输入弹性模量E，泊松比NU，厚度t
%输入三个节点i、j、m的坐标xi,yi,xj,yj,xm,ym
%输入平面问题性质指示参数ID(1为平面应力问题，2为平面应变)
%输出单元刚度矩阵k(6X6)
%---------------------------------------------------------------
A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2;
bi = yj-ym;
bj = ym-yi;
bm = yi-yj;
ci = xm-xj;
cj = xi-xm;
cm = xj-xi;
B = [bi 0 bj 0 bm 0 ; 
       0 ci 0 cj 0 cm ;
       ci bi cj bj cm bm]/(2*A);
if ID == 1 %平面应力的弹性矩阵
   D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];
elseif ID == 2  %平面应变的弹性矩阵
   D = (E/(1+NU)/(1-2*NU))*[1-NU NU 0 ; NU 1-NU 0 ; 0 0 (1-2*NU)/2];
end
k= t*A*B'*D*B;

单元刚度矩阵的组装

function z = Triangle2D3Node_Assembly(KK,k,i,j,m)
%该函数进行单元刚度矩阵的组装
%输入单元刚度矩阵k
%输入单元的节点编号I、j、m
%输出整体刚度矩阵KK 
%---------------------------------------------------------------
DOF(1)=2*i-1;
DOF(2)=2*i;
DOF(3)=2*j-1;
DOF(4)=2*j;
DOF(5)=2*m-1;
DOF(6)=2*m;
for n1=1:6
   for n2=1:6
      KK(DOF(n1),DOF(n2))= KK(DOF(n1),DOF(n2))+k(n1,n2);
   end
end
z=KK;

function stress=Triangle2D3Node_ElementStress(E,NU,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u,ID)
%该函数计算单元的应力
%输入弹性模量E，泊松比NU，厚度t
%输入三个节点i、j、m的坐标xi,yi,xj,yj,xm,ym
%输入平面问题性质指示参数ID(1为平面应力，2为平面应变)，单元的位移列阵u(6X1)
%输出单元的应力stress(3X1)，由于它为常应力单元，则单元的应力分量为Sx,Sy,Sz
%---------------------------------------------------------------
A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj))/2;
bi = yj-ym;
bj = ym-yi;
bm = yi-yj;
ci = xm-xj;
cj = xi-xm;
cm = xj-xi;
B = [bi 0 bj 0 bm 0 ; 
       0 ci 0 cj 0 cm ;
       ci bi cj bj cm bm]/(2*A);
if ID == 1 
   D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];
elseif ID == 2
   D = (E/(1+NU)/(1-2*NU))*[1-NU NU 0 ; NU 1-NU 0 ; 0 0 (1-2*NU)/2];
end
stress = D*B*u;

%【MATLAB算例】4.7.1(2) 基于3节点三角形单元的矩形薄板分析(Triangle2D3Node)  143页
%（1）结构的离散化与编号
%（2）计算各单元的刚度矩阵(以国际单位)
E=1e7;
NU=1/3;    %泊松比
t=0.1;
ID=1;    %输入平面问题性质指示参数ID(1为平面应力问题，2为平面应变)，会给出不同的弹性矩阵D
k1=Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,2,0,0,1,0,0,ID);
k2=Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,0,1,2,0,2,1,ID);
%（3） 建立整体刚度方程
KK = zeros(8,8);
KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k1,2,3,4);
KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k2,3,2,1);
%（4） 边界条件的处理及刚度方程求解
k=KK(1:4,1:4) ;
p=[0;-5000;0;-5000];
u=k\p;   %节点位移的前四个分量u1，v1，u2，v2
%（5）支反力的计算
U=[u;0;0;0;0];
P=KK*U
%（6）各单元的应力计算
u1=[U(3);U(4);U(5);U(6);U(7);U(8)]   %第一个单元的应力u2，v2，u3，v3，u4，v4
stress1=Triangle2D3Node_ElementStress(E,NU,2,0,0,1,0,0,u1,ID)
u2=[U(5);U(6);U(3);U(4);U(1);U(2)]   %第二个单元的应力u1，v1，u2，v2，u3，v3
stress2=Triangle2D3Node_ElementStress(E,NU,0,1,2,0,2,1,u2,ID)

4.3 对应的C++程序

#include 
#include 
using namespace Eigen;
using namespace std;

MatrixXf Tri2D3Node_Stiffness(float E, float mu, float t, float xi, float yi, float xj, float yj, float xm, float ym, int Id)
{
	//计算单元刚度矩阵，输入弹性模量E，泊松比NU，厚度t
	// 输入三个节点i、j、m的坐标xi,yi,xj,yj,xm,ym
	//输入平面问题性质指示参数ID(1为平面应力问题，2为平面应变)
	//输出单元刚度矩阵k(6X6) 
	float A, bi, bj, bm, ci, cj, cm;
	A = (xi * (yj - ym) + xj * (ym - yi) + xm * (yi - yj)) / 2;
	bi = yj - ym;
	bj = ym - yi;
	bm = yi - yj;
	ci = xm - xj;
	cj = xi - xm;
	cm = xj - xi;
	MatrixXf B(3, 6);
	B << bi, 0, bj, 0, bm, 0,
		0, ci, 0, cj, 0, cm,
		ci, bi, cj, bj, cm, bm;
	B = B / (2 * A);

	MatrixXf D(3, 3);     // 弹性矩阵
	if (Id == 1)
	{
		D << 1, mu, 0,
			mu, 1, 0,
			0, 0, (1 - mu) / 2;
		D = (E / (1 - mu * mu)) * D;
	}
	else if (Id == 2)
	{
		D << 1 - mu, mu, 0,
			mu, 1 - mu, 0,
			0, 0, (1 - 2 * mu) / 2;
		D = (E / (1 + mu) / (1 - 2 * mu)) * D;
	}
	//B  矩阵转置：B.transpose()
	MatrixXf k(6, 6);  //单元刚度矩阵的大小
	k = t * A * B.transpose() * D * B;
	return k;
}

MatrixXf Tri2D3Node_Assembly(MatrixXf KK, MatrixXf k, int i, int j, int m)
{
	//单元刚度矩阵的组装
	//输入单元刚度矩阵k，单元的节点编号i、j
	//输出整体刚度矩阵KK

	VectorXi Dof(6); //定义一个6*1的向量
	Dof << 2 * i - 1, 2 * i, 2 * j - 1, 2 * j, 2 * m - 1, 2 * m;

	for (int n1 = 0; n1 < 6; n1++)
	{
		for (int n2 = 0; n2 < 6; n2++)
		{
			KK(Dof(n1) - 1, Dof(n2) - 1) = KK(Dof(n1) - 1, Dof(n2) - 1) + k(n1, n2);
			//注意：c++中数组和矩阵都是从0开始编号的
		}
	}
	return KK;
}


int main()
{
	//初始物理量
	float E = 1e7;             //弹性模量
	float mu = 1.0 / 3;       //注意： 不能写成float mu = 1 / 3，这种情况输出结果为0
	float t = 0.1;             //厚度 
	int Id = 1;               //输入平面问题性质指示参数ID(1为平面应力问题，2为平面应变)，会给出不同的弹性矩阵D      

	MatrixXf k1(6, 6), k2(6, 6);     //单元刚度矩阵6*6
	k1 = Tri2D3Node_Stiffness(E, mu, t, 2, 0, 0, 1, 0, 0, Id);
	k2 = Tri2D3Node_Stiffness(E, mu, t, 0, 1, 2, 0, 2, 1, Id);
	cout << "k1:" << endl << k1 << endl;
	cout << "k2:" << endl << k2 << endl;

	//组装刚度矩阵
	MatrixXf KK(8, 8);    //总刚的大小
	KK.setZero(8, 8);     //0矩阵
	KK = Tri2D3Node_Assembly(KK, k1, 2, 3, 4);
	KK = Tri2D3Node_Assembly(KK, k2, 3, 2, 1);
	cout << "总体刚度矩阵 KK = " << endl << KK << endl;
	//计算节点向量   应用化1置0方法
	MatrixXf kk(4, 4);
	kk = KK.block<4, 4>(0, 0);    //节点位移u3,v3,u4,v4 = 0;应用化1置0可以把总刚矩阵简化为kk进行计算
	cout << "kk:" << endl << kk << endl;

	Vector4f p(0, -5000, 0, -5000);      //节点力
	Vector4f u(0, 0, 0, 0);
	u = kk.lu().solve(p);         //LU分解求解线性方程组kk * x = P
	cout << "节点位移 u = " << endl << u << endl;

	//支反力的计算
	VectorXf U(8);
	U << u, 0, 0, 0, 0;          //总体节点位移
	VectorXf P(8);
	P = KK * U;
	cout << "节点位移 U = " << endl << U << endl;
	cout << "支反力 P = " << endl << P << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

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总结

一维数组名称的用途：

二维数组定义的四种方式: