[Eigen中文文档] 稠密分解方法目录

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英文原文(Catalogue of dense decompositions)

本文介绍了 Eigen 提供的处理稠密矩阵分解方法的目录。有关线性求解器和分解的介绍，请查看 [线性代数和分解](# 4.1 线性代数和分解) 。要大致了解不同分解的真实相对速度，请查看 基准测试。

Eigen 提供的分解方法目录

描述	对矩阵的要求	速度	算法可靠性和准确性	计算秩	允许的计算（除了线性求解）	Eigen提供线性求解器	Eigen的成熟度	优化
PartialPivLU	可逆	快	取决于条件数	不支持	-	是	成熟	按块处理，隐式多线程
FullPivLU	-	慢	Proven	支持	-	是	成熟	-
HouseholderQR	-	快	取决于条件数	不支持	正交化	是	成熟	按块处理
ColPivHouseholderQR	-	快	好	支持	正交化	是	成熟	-
FullPivHouseholderQR	-	慢	Proven	支持	正交化	是	一般	-
CompleteOrthogonalDecomposition	-	快	好	支持	正交化	是	成熟	-
LLT	正定	非常快	取决于条件数	不支持	-	是	成熟	按块处理
LDLT	半正定或半负定	非常快	好	不支持	-	是	成熟	按块处理（暂时未支持）

奇异值和特征值分解

BDCSVD (divide & conquer)		最快的 SVD 算法之一	很好	支持	奇异值/向量、最小二乘法	是（并且做最小二乘法）	成熟	按块处理，隐式多线程
JacobiSVD (two-sided)		慢（但对于小矩阵来说很快）	Proven	支持	奇异值/向量、最小二乘法	是（并且做最小二乘法）	成熟	R-SVD
SelfAdjointEigenSolver	自伴随	平均很块	好	支持	特征值/向量	-	成熟	-
ComplexEigenSolver	方阵	非常慢	取决于条件数	支持	特征值/向量	-	一般	2x2 和 3x3 的封闭形式
EigenSolver	实方阵	平均很慢	取决于条件数	支持	特征值/向量	-	一般	-
GeneralizedSelfAdjointEigenSolver	方阵	平均很块	取决于条件数	不支持	广义特征值/向量	-	好	-

辅助分解

RealSchur	实方阵	平均很慢	取决于条件数	支持	-	-	一般	-
ComplexSchur	方阵	非常慢	取决于条件数	支持	-	-	一般	-
Tridiagonalization	自伴随	快	好	-	-	-	好	按块处理（暂时未支持）
HessenbergDecomposition	实方阵	一般	好	-	-	-	好	按块处理（暂时未支持）

注意：

• LDLT 算法存在两种变体。Eigen 产生一个纯对角矩阵，因此它不能处理不定矩阵，这与 Lapack 的产生块对角矩阵不同。
• 特征值、SVD 和 Schur 分解依赖于迭代算法。它们的收敛速度取决于特征值的分离程度。
• JacobiSVD 是双边的，可以为方阵提供经过验证的最佳精度。对于非方阵，必须先使用 QR 预处理器。默认选择的 ColPivHouseholderQR 已经非常可靠，但如果希望长期测试它，请改用 FullPivHouseholderQR。

术语

• 自伴随（Selfadjoint）

  对于实数矩阵，selfadjoint 是对称的同义词。对于复数矩阵，selfadjoint 是 hermitian 的同义词。更一般地，矩阵 A 是自伴随的当且仅当它等于它的伴随 $A^{\ast }$。伴随也称为共轭转置。

• 正/负定（Positive/negative definite）

  如果对于任何非零向量 $v$，有 $v^{\ast }Av>0$ ，则自伴矩阵 $A$ 是正定的。同样，如果对于任何非零向量 $v$，有 $v^{\ast }Av<0$ ，则它是负定的。

• 正/负半定（Positive/negative semidefinite）

  对于任何非零向量 $v$，如果 $v^{\ast }Av\ge 0$，则自伴矩阵 $A$ 是半正定矩阵。同理，对于任何非零向量 $v$，若 $v^{\ast }Av\le 0$ 则为负半定。

• 按块处理（Blocking）

  意味着该算法可以按块处理矩阵，从而保证了大型矩阵的性能良好扩展。

• 隐式多线程（Implicit Multi Threading (MT)）

  意味着该算法可以通过 OpenMP 利用多核处理器。“隐式”意味着算法本身不是并行的，而是依赖于并行化的矩阵-矩阵乘积例程。

• 显式多线程（Explicit Multi Threading (MT)）

  意味着该算法明确并行化以通过 OpenMP 利用多核处理器。

• 元展开器（Meta-unroller）

  意味着该算法会针对非常小的固定大小矩阵自动且显式展开。