[Eigen中文文档] 求解线性最小二乘系统

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英文原文(Solving linear least squares systems)

本页介绍如何使用 Eigen 求解线性最小二乘系统。有一个超定方程组，比如$Ax=b$，没有解。在这种情况下，搜索最接近解的向量 $x$ 是有意义的，使此时的差值 $Ax-b$ 尽可能小。这个 $x$ 称为最小二乘解（如果使用欧几里得范数）。

本页讨论的三种方法是 SVD 分解、QR 分解和正规方程。其中，SVD 分解通常最准确但最慢，正规方程式最快但最不准确，QR 分解介于两者之间。

SVD 分解

BDCSVD类中的 solve() 方法可以直接用于求解二次线性系统。仅计算奇异值（此类的默认值）是不够的，还需要奇异向量，但稀疏 SVD 分解足以计算最小二乘解：

示例：

#include 
#include 
 
int main()
{
   Eigen::MatrixXf A = Eigen::MatrixXf::Random(3, 2);
   std::cout << "Here is the matrix A:\n" << A << std::endl;
   Eigen::VectorXf b = Eigen::VectorXf::Random(3);
   std::cout << "Here is the right hand side b:\n" << b << std::endl;
   std::cout << "The least-squares solution is:\n"
        << A.template bdcSvd<Eigen::ComputeThinU | Eigen::ComputeThinV>().solve(b) << std::endl;
}

输出：

Here is the matrix A:
  0.68  0.597
-0.211  0.823
 0.566 -0.605
Here is the right hand side b:
 -0.33
 0.536
-0.444
The least-squares solution is:
-0.67
0.314

这是 [4.1 线性代数与分解](#4.1 线性代数与分解)中的示例，如果只需要解决最小二乘问题，但对 SVD 本身不感兴趣，则可以使用更快的替代方法 CompleteOrthogonalDecomposition。

QR 分解

QR 分解类中的 solve() 方法也可以计算最小二乘解。

共有三个 QR 分解类：HouseholderQR（无旋转，快速但不稳定，如果矩阵不是满秩），ColPivHouseholderQR（列旋转，因此有点慢但更稳定）和FullPivHouseholderQR（完全旋转，比ColPivHouseholderQR更慢更稳定）。如下是一个列旋转的例子：

MatrixXf A = MatrixXf::Random(3, 2);
VectorXf b = VectorXf::Random(3);
cout << "The solution using the QR decomposition is:\n"
     << A.colPivHouseholderQr().solve(b) << endl;

输出：

The solution using the QR decomposition is:
-0.67
0.314

正规方程

求 $Ax=b$ 的最小二乘解等同于求解正规方程 $A^{T}Ax=A^{T}b$。

示例如下：

MatrixXf A = MatrixXf::Random(3, 2);
VectorXf b = VectorXf::Random(3);
cout << "The solution using normal equations is:\n"
     << (A.transpose() * A).ldlt().solve(A.transpose() * b) << endl;

输出：

The solution using normal equations is:
-0.67
0.314

这种方法通常是最快的，尤其是当 $A$ “又高又瘦”的时候。但是，即使矩阵 $A$ 有轻微病态，这也不是一个好方法，因为 $A^{T}A$ 的条件数是 $A$ 的条件数的平方。这意味着与上面提到的更稳定的方法相比，使用正规方程式会损失大约两倍的精度。