【C++修炼之路：二叉搜索树】
目录：
- 二叉搜索树的概念
- 构建一颗二叉树
-
- 二叉树的查找
-
- 二插树的插入
- 二叉树的删除
-
-
- 删除右子树的最小节点
- 写一个中序来走这个二叉搜索树
-
-
- 递归版删除（recursion）
-
- 递归版插入（recursion）
-
- 递归版查找（recursion）
-
-
- BSTree.h的代码
-
- test.cpp的代码
-
- 二叉树的应用
-
- 二叉树的性能分析
二叉搜索树的概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
1.若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
2.若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
3.它的左右子树也分别为二叉搜索树
构建一颗二叉树
二叉树的查找
bool Find(const K& key)//查找
{
Node* cur = _root;
while (cur)//如果比cur大走右边
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)//如果比cur小走左边
{
cur = cur->_left;
}
else//如果相等就找到了
{
return true;
}
}
return false;//如果走到空找不到
}
二插树的插入
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)//如果是一颗空树
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;//定义一个父亲节点的指针
Node* cur = _root;//定义一个cur指针找这个节点插入的位置
while (cur)
{
if (cur->_key < key)//如果key值大就往右边走
{
parent = cur;//cur往下走的时候先给给我们parent
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)//如果key值小就往左边走
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;//如果相等就不插入
}
}
cur = new Node(key);
//cur是一个局部变量，需要和父亲节点链接起来
//如果我的key大就链接到右边
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
//如果我的key小就链接在左边
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
二叉树的删除
bool Erase(const K& key)//删除
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)//先找
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 1、左为空
// 2、右为空
// 3、左右都不为空，替换删除
if (cur->_left == nullptr)//左为空
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
//如果我是父亲的左，那就让父亲的左指向我的右
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
//如果我是父亲的右，那就让父亲的右指向我的右
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;//释放cur
}
else if (cur->_right == nullptr)//右为空
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
//如果我是父亲的左，那就让父亲的左指向我的左
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
//如果我是父亲的右，那就让父亲的右指向我的左
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;//释放cur
}
else
{
//右子树的最小节点
Node* parent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left)//不等于空继续
{
parent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
cur->_key = minRight->_key;//赋值
if (minRight == parent->_left)
{
parent->_left = minRight->_right;//父亲的左指向它的右
}
else
{
parent->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;//删除
}
return true;
}
}
return false;//找不到
}
删除右子树的最小节点
依次删除7、14、3、8，3和14属于直接删除的场景，那么删除3和8两个节点麻烦一点，就需要替换法进行删除的场景，代码和图示如下：
else{
//右子树的最小节点
Node* parent = cur;//记录父亲
//最开始父亲有可能就是最左节点，所以父亲不能为空，为空就不会进入循环了
Node* minRight = cur->_right;//在右树里面找最左节点
while (minRight->_left)//不等于空继续
{
parent = minRight;//最左节点给父亲
minRight = minRight->_left;//往下走
}
cur->_key = minRight->_key;//赋值
//判断最左节点在父亲的左边还是右边
//因为parent有能在左边也有可能在右边
if (minRight == parent->_left)
{
parent->_left = minRight->_right;//父亲的左指向它的右
}
else
{
parent->_right = minRight->_right;//父亲的右指向它的右
}
delete minRight;//替换删除
}
return true;
}
写一个中序来走这个二叉搜索树
套一层：由于根是私有的调不动需要写一个子函数，让子函数去递归,因此我们需要套一层，也可以自己写一个getroot
void InOrder()
{
_InOrder(_root);//调子函数递归
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)//空树
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
递归版删除（recursion）
bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (root->_key < key)
{
return _EraseR(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key)
{
return _EraseR(root->_left, key);
}
//相等就删除
else
{
Node* del = root;//定义一个指针删掉原来的root
if (root->_right == nullptr)
{
root = root->_left;
}
else if (root->_left == nullptr)
{
root = root->_right;
}
else
{
Node* minRight = root->_right;
while (minRight->_left)
{
minRight = minRight->_left;
}
//调用递归
swap(root->_key, minRight->_key);
return _EraseR(root->_right, key);
}
delete del;//释放
return true;
}
}
递归版插入（recursion）
//用引用链接父亲
bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
{
//插入
if (root == nullptr)
{
root = new Node(key);
return true;
}
if (root->_key < key)
return _InsertR(root->_right, key);
else if (root->_key > key)
return _InsertR(root->_left, key);
else
return false;
}
bool _FindR(Node* root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
return false;
if (root->_key < key)
return _FindR(root->_right, key);
else if (root->key > key)
return _FindR(root->_left, key);
else
return true;
}
递归版查找（recursion）
bool _FindR(Node* root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
return false;
if (root->_key < key)
return _FindR(root->_right, key);
else if (root->key > key)
return _FindR(root->_left, key);
else
return true;
}
BSTree.h的代码
#pragma once
//二叉搜索树
template<class K>//类模板参数
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K>* _left;
BSTreeNode<K>* _right;
K _key;
BSTreeNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
BSTree()
:_root(nullptr)
{}//构造函数
//树的拷贝构造
BSTree(const BSTree<K>& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
//树的赋值
BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
{
swap(_root, t._root);
return *this;
}
//析构函数
~BSTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
bool Find(const K& key)//查找
{
Node* cur = _root;
while (cur)//如果比cur大走右边
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)//如果比cur小走左边
{
cur = cur->_left;
}
else//如果相等就找到了
{
return true;
}
}
return false;//如果走到空找不到
}
bool Erase(const K& key)//删除
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)//先找
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 1、左为空
// 2、右为空
// 3、左右都不为空，替换删除
if (cur->_left == nullptr)//左为空
{
if (parent == nullptr)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
//如果我是父亲的左，那就让父亲的左指向我的右
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
}
//如果我是父亲的右，那就让父亲的右指向我的右
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;//释放cur
}
else if (cur->_right == nullptr)//右为空
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
//如果我是父亲的左，那就让父亲的左指向我的左
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
}
//如果我是父亲的右，那就让父亲的右指向我的左
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;//释放cur
}
else
{
//右子树的最小节点
Node* parent = cur;//记录父亲
//最开始父亲有可能就是最左节点，所以父亲不能为空，为空就不会进入循环了
Node* minRight = cur->_right;//在右树里面找最左节点
while (minRight->_left)//不等于空继续
{
parent = minRight;//最左节点给父亲
minRight = minRight->_left;//往下走
}
cur->_key = minRight->_key;//赋值
//判断最左节点在父亲的左边还是右边
//因为parent有能在左边也有可能在右边
if (minRight == parent->_left)
{
parent->_left = minRight->_right;//父亲的左指向它的右
}
else
{
parent->_right = minRight->_right;//父亲的右指向它的右
}
delete minRight;//替换删除
}
return true;
}
}
return false;//找不到
}
//套一层
//由于根是私有的调不动需要写一个子函数，让子函数去递归,因此我们需要套一层，也可以自己写一个getroot
void InOrder()
{
_InOrder(_root);//调子函数递归
cout << endl;
}
//递归
bool InsertR(const K& key)
{
return _InsertR(_root, key);
}
bool FindR(const K& key)
{
return _FindR(_root, key);
}
bool EraseR(const K& key)
{
return _EraseR(_root, key);
}
private:
void Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
Node* newRoot = new Node(root->_key);
newRoot->_left = Copy(root->_left);
newRoot->_right = Copy(root->_right);
return newRoot;
}
bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (root->_key < key)
{
return _EraseR(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key)
{
return _EraseR(root->_left, key);
}
//相等就删除
else
{
Node* del = root;//定义一个指针删掉原来的root
if (root->_right == nullptr)
{
root = root->_left;
}
else if (root->_left == nullptr)
{
root = root->_right;
}
else
{
Node* minRight = root->_right;
while (minRight->_left)
{
minRight = minRight->_left;
}
//调用递归
swap(root->_key, minRight->_key);
return _EraseR(root->_right, key);
}
delete del;//释放
return true;
}
}
//用引用链接父亲
bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
{
//插入
if (root == nullptr)
{
root = new Node(key);
return true;
}
if (root->_key < key)
return _InsertR(root->_right, key);
else if (root->_key > key)
return _InsertR(root->_left, key);
else
return false;
}
bool _FindR(Node* root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
return false;
if (root->_key < key)
return _FindR(root->_right, key);
else if (root->key > key)
return _FindR(root->_left, key);
else
return true;
}
//写一个中序来走这个二叉搜索树
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)//空树
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
void TestBSTree1()
{
int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
BSTree<int> t;
for (auto e : a)a的第一个元素和最后一个元素就是e的范围
{
t.InsertR(e);
}
t.InOrder();//前序遍历
BSTree<int> Copyt(t);
Copyt.InOrder();
t.InOrder();
//t.EraseR(9);
// t.InOrder();
t.EraseR(14);
t.InOrder();
t.EraseR(3);
t.InOrder();
t.EraseR(8);
t.InOrder();
for (auto e : a)
{
t.Erase(e);
t.InOrder();//根是私有调不动
}
}
test.cpp的代码
#include我们看下运行结果，这棵树就被我们删完了：
二叉树的应用
- K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
- KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即
二叉树的性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为： l o g 2 N log_2 N log2N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为： N 2 \frac{N}{2} 2N
问题：如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进，不论按照什么次序插入关键码，二叉搜索树的性能都能达到最优？那么我们后续学习的AVL树和红黑树就可以上场了。