【算法分析与设计】第八章-回溯法

一、知识铺垫

• 约束条件
  分为显式约束和隐式约束
  显式：规定了问题的解的分量的取值范围。如求n的全排列每个位置只能取1~n
  隐式：用于判定候选解是否为可行解。如全排列的每个数字不允许重复。
• 问题状态和状态空间树
          状态空间树是描述问题解空间的树形结构，每个结点称为一个问题状态。树的每条分支代表一次决策，从根结点到叶结点的路径就代表了一个候选解，称该叶结点所代表的状态为解状态。如果候选解是可行解则称之为答案状态。
• 剪枝函数
      剪枝函数分为约束函数和限界函数
      约束函数：避免无所谓的搜索那些已知不含答案状态的子树。
      限界函数：用于最优化问题，剪去那些不可能含有最优答案结点的子树。
      二者的区别在于：约束函数是对约束条件的实现，剪去不带答案结点的子树。而限界函数常用于求解最优化问题，它剪去的子树可能带答案结点，但不会是最优答案结点。

二、什么是回溯法

回溯法是一种更为一般的解题方法。回溯法是通过搜索状态空间树来求问题的可行解或最优解的方法。本质就是dfs + 剪枝。

三、回溯法的使用场景

如果问题的解可表示成一个n元组$(x_1,x_2,...,x_n)$，我们就可以通过枚举所有的可能排列来搜索答案。比如求全排列、迷宫问题、n皇后、子集和数、图的着色问题等。

四、回溯法的解题步骤

void BackTrack(int k){
	if k == n { 输出答案 }
	else{
			for 所有可能的x[k]取值
				if x[k] 满足约束条件
					BackTrack(k+1)
	}
}

五、典例

• n皇后问题

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 15;
int g[N], ans[N];
int n;
LL cnt;
bool vis[N];
bool check(int k, int j){
	for(int i = 1; i < k; i ++){
		if(ans[i] == j || abs(i - k) == abs(ans[i] - j))
			return false; 
	}
	return true;
}
void nQueens(int d){
	if(d == n + 1){
		for(int i = 1; i <= n; i ++) 
			cout << ans[i] << ' ';
		cout << endl; 
		cnt ++;
		return; 
	}
	for(int i = 1; i <= n; i ++){	// 显式约束
		if(!vis[i] && check(d,i)){	// 隐式约束
			ans[d] = i;
			vis[i] = 1;
			nQueens(d + 1);
			vis[i] = 0;
		} 
	}
}
int main(){
	cin >> n;
	nQueens(1);
	cout << cnt;
	return 0;
}

• 子集和数问题

#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 1010;
int w[N], x[N], tmp[N];
int idx[100*N];
int n, m;
bool f;
void dfs(int s, int k, int r){
	x[k] = 1;
	if(s + w[k] == m){
		for(int i = k + 1; i < n; i ++)
			x[i] = 0;
		for(int i = 0; i < n; i ++)
			cout << x[idx[tmp[i]]] << ' ';
		cout << endl;
		f = 1;
	}
	else if(s + w[k] + w[k + 1] <= m){	//选 k可以 
			dfs(s + w[k], k + 1, r - w[k]);
	}
	if(s + r - w[k] >= m && s + w[k+1] <= m){	//不选 k 
		x[k] = 0;
		dfs(s, k + 1, r - w[k]);
	}
}
int main(){
	cin >> n >> m;
	for(int i = 0; i < n; i ++)
		cin >> w[i], tmp[i] = w[i];	// tmp copy w for print 
	int r = 0, s = 0;
	for(int i = 0; i < n; i ++)
		r += w[i];
	sort(w, w + n);
	for(int i = 0; i < n; i ++)
		idx[w[i]] = i;
	if(r >= m && w[0] <= m)
		dfs(s,0,r);
	if(!f) cout << "no solution!" << endl;
	return 0;
}