算法模板（7）：计算几何（2）
计算几何
旋转卡壳
- 其实旋转卡壳就是枚举每一条凸包上的边，然后找一找离这条边最远的点是哪个。确定一条边，找那个点用的就是双指针法。因此，旋转卡壳大多是枚举的边，在边上找特征。
2938. 周游世界
- 题意：给定一个二维平面，平面上有 N 个点。每个点的位置可由一对整数坐标 (x,y) 来表示，不同的点位置不同。请你求出平面上距离最远的点对之间的距离是多少。
#include2142. 最小矩形覆盖
- 已知平面上不共线的一组点的坐标，求覆盖这组点的面积最小的矩形。输出矩形的面积和四个顶点的坐标。
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- 上面那个证明出来，矩形至少有一条边和凸包的一条边重合。那么，我们其实就是枚举凸包的每一条边，然后找到离这条边最远的边，即投影最大的。然后，找两边的点时，就是找投影最小的。这样矩形的三个点就找到了，最后一个点可以根据矩形的边的关系算出来。
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#include三角剖分
3034. 望远镜
- 一个圆，其圆心位于原点，半径为 R。一个 N 个顶点的简单多边形。求这两个图形相交的面积。
- 方法：就是按照逆时针求多边形有向面积的方法，只不过这次求的是三角形与圆相交的有向面积，把这些加起来就是答案。
讨论三角形与圆的交点
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#include扫描线
- 主要是用来求面积或者周长
3068. 扫描线
-
在二维平面中给定 n 个两条边分别与 x 轴和 y 轴平行的矩形，请你求出它们的面积并。
-
先把举行切割成一片一片的，再把每一片的矩形做一个区间和并（排序），复杂度 O ( n 2 l o g n ) O(n^2logn) O(n2logn).
#include<bits/stdc+
using namespace std;
#define x first
#define y second
const int maxn = 1010;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> P;
P l[maxn], r[maxn];
vector<ll> xs;
int N;
P q[maxn]; //存储高度的区间
ll range_area(ll a, ll b) {
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < N; i++) {
if (l[i].x <= a && b <= r[i].x) {
q[cnt++] = { l[i].y, r[i].y };
}
}
if (!cnt) return 0;
sort(q, q + cnt);
ll st = q[0].first, ed = q[0].second;
ll res = 0;
for (int i = 1; i < cnt; i++) {
if (q[i].first > ed) {
res += ed - st;
st = q[i].first, ed = q[i].second;
}
else ed = max(ed, q[i].second);
}
res += ed - st;
return res * (b - a);
}
int main() {
scanf("%d", &N);
for (int i = 0; i < N; i++) {
scanf("%lld%lld%lld%lld", &l[i].x, &l[i].y, &r[i].x, &r[i].y);
xs.push_back(l[i].x), xs.push_back(r[i].x);
}
sort(xs.begin(), xs.end());
ll ans = 0;
for (int i = 0; i + 1 < xs.size(); i++) {
if (xs[i] != xs[i + 1]) {
ans += range_area(xs[i], xs[i + 1]);
}
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
2801. 三角形面积并
- 给出 n 个三角形，求它们并的面积。
- O ( n 3 l o g n ) O(n^3logn) O(n3logn).
#include自适应辛普森积分
- 当图形过于复杂时，可以用这个自适应辛普森积分求面积。
- 辛普森积分法是用二次函数来模拟这个函数，是在数值分析上，根据经验发现效果非常好的一个方法。
- 那么，可以这样近似
∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 6 ( f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ) \int_a^bf(x)dx \approx \frac{b-a}{6}\biggl(f(a) + 4f(\frac{a+b}{2})+f(b)\biggr) ∫abf(x)dx≈6b−a(f(a)+4f(2a+b)+f(b))
- 如果原函数本身的次数不超过2，那么可以求出很精确的值。
3074. 自适应辛普森积分
- 题意：给定两个整数 a,b，请计算如下积分：
∫ a b S i n ( x ) x d x \int_a^b \frac{Sin(x)}{x}dx ∫abxSin(x)dx
#include3069. 圆的面积并
- 给出 N 个圆，求其面积并。
- 如果用扫描线去写，会非常麻烦，因为面积很难算。但是需要指出的是，辛普森积分不一定比扫描线简单。一般是有弧线时用辛普森积分相对简单。大雪菜还说，如果辛普森积分卡精度，那么先把坐标系随意旋转一个角度就行。
- 这个题，设 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0) 为直线 x = x 0 x=x_0 x=x0 与圆交集的长度。
#include