凸透镜聚焦

一直认为凸透镜是标准的圆弧，今天特模拟了下标准圆弧的焦点，下面直接上图吧。

由此可见凸透镜看起来不是标准的圆弧或者椭圆的圆弧。

下面是菲涅尔透镜原理图。

下面开始探讨下理想的凸透镜（所有光线都聚焦到一个点）到底是什么样的曲线。

按照光程差相等， 得出理想的凸透镜是一个双曲线方程， 如下：

其中：n为折射率，f为焦距，d为透镜厚度。

下面是仿真效果：

证明

可以证明透镜上的任何一点(x,y),满足

条件sin(θ2)=n*sin(θ1), tan(θ1)=-1/y',其中θ1是入射角，θ2是出射角。

可以得到：tan(θ2-θ1)=y/(f-x)，或f=x+y/tan(θ2-θ1) 及所有的出设光线都满足在焦点（f，0）处汇集。

证明：

1. 一阶导数：y'=f'(x)， 先只考虑x<=d, y>0的部分.

2. 由折射率可得：sin(θ2)=n*sin(θ1), tan(θ1)=-1/y'

3. fx = x + y/tan(θ2-θ1), 化简可得：

进一步化简可得：

提取公因数可得：

显然， fx = f.（上式分子上的为笔误，应该为）

由此证明对于任意一点(x, y),满足 x + y/tan(θ2-θ1) = f, 及所有平行光线都满足在(f, 0)处汇集。

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