二维笛卡尔坐标系下的角的概念
文章目录
- 参考
- 环境
- 笛卡尔坐标系
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- 二维笛卡尔坐标系
- 三维笛卡尔坐标系
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- 任意角
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- 角的静态定义
- 角的动态定义
- 二维笛卡尔坐标系下角的概念
- 方向
- 正角、负角及零角
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- 象限角
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- 象限
- 象限角
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- 终边相同角
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- 圆心角
- 终边相同角
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参考
| 项目 | 描述 |
|---|---|
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环境
| 项目 | 描述 |
|---|---|
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笛卡尔坐标系
笛卡尔坐标系是由法国哲学家和数学家 笛卡尔（René Descartes）于 17 世纪提出的一种几何表示方法。笛卡尔通过引入坐标系，将 几何问题 转化为 代数问题，从而 使得几何问题的分析和计算成为可能。
二维笛卡尔坐标系
在 二维笛卡尔坐标系 中，平面被划分为两个 垂直 的轴，这两个轴通常被称为 X 轴 与 Y 轴。X 轴 水平 延伸，Y 轴 垂直 延伸，两个轴的交点被称为 原点。
在二维笛卡尔坐标系中，每个点的 坐标 都可以用一对有序数对 (x, y) 表示，其中 x 表示点在 X 轴上的水平位置，y 表示点在 Y 轴上的垂直位置。
三维笛卡尔坐标系
三维笛卡尔坐标系在二维笛卡尔坐标系的基础上增加了 一个垂直于二维平面的轴，通常称为 Z 轴。X 轴、Y 轴和 Z 轴相 互垂直，并在原点处交叉。每个点的坐标都可以通过一个三元组 (x, y, z) 进行表示，其中 x 表示点在 X 轴上的水平位置，y 表示点在 Y 轴上的垂直位置，z 表示点在 Z 轴上的垂直位置。
任意角
角的静态定义
具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做 角的顶点，这两条射线叫做 角的两条边。
在由 角的静态定义 所统领的角度度量系统中，角的大小通常被 限定 在
[ 0 ∘ , 36 0 ∘ ] [0^\circ, 360^\circ] [0∘,360∘]
范围 内。
角的动态定义
一条射线绕着它的端点从一个位置 旋转 到另一个位置所形成的图形叫做角，旋转射线所围绕的端点被称为 角的顶点，射线开始旋转的位置称为 角的始边，终止位置的称为 角的终边。
在角的动态定义中，角是由射线旋转得到的。在形成角的过程中，射线 旋转的次数 可以不足一圈，也可以超过一圈。这也意味着，在角的动态定义下，角的大小不再具有限制性。
二维笛卡尔坐标系下角的概念
角是由一条射线绕着它的 端点 从一个位置 旋转 到另一个位置所形成的图形。在这个旋转过程中，射线围绕着旋转的端点被称为 角的顶点，射线进行旋转的开始位置被称为 角的始边，射线停止旋转的位置被称为 角的终边。
在二维笛卡尔坐标系中，我们 通常 将角的始边与 x 轴的 正半轴 重合，角的顶点与坐标系的 原点 重合。当然，这只是一个便于进行学术交流的约定，而不是必须遵循的准则。
方向
二维笛卡尔坐标系提供了一个更具描述性的框架（以 x 轴正半轴为始边，以终边相对始边旋转的方向定义角的 正负性），使得我们能够描述角度的 方向。
正角、负角及零角
由角的动态定义及二维笛卡尔坐标系所提供的方向定义，角的概念也被扩展为了 任意角，任意角具体可分为正角、负角和零角。
| 类型 | 描述 |
|---|---|
正角 |
正角是指角的始边与 x 轴正半轴重合，并且角的终边相对角的始边 逆时针方向 旋转得到的角。正角的度数是一个 正值，并且这个值 不存在大小限制。 |
负角 |
负角是指角的始边与 x 轴正半轴重合，并且角的终边相对角的始边 顺时针方向 旋转得到的角。负角的度数是一个 负值，并且这个值 不存在大小限制。 |
零角 |
零角是指始边与 x 轴正半轴重合，并且 角的终边也与角的始边重合的角。但并不是所有角的终边也与角的始边重合的角（如 36 0 ∘ 360^\circ 360∘、 72 0 ∘ 720^\circ 720∘）都可以称之为零角。要明确一点，零角是角的两条射线 没有发生旋转 而产生的角。 |
象限角
象限
象限（Quadrant）是笛卡尔坐标系中 横轴 X 与 纵轴 Y 所划分的四个 区域，每一个区域叫做一个象限。
以右上角的区域为 起点，以 X、Y 轴为 分界线，将笛卡尔坐标系 依次划分 为四个区域，这四个区域分别称为第一象限、第二象限、第三象限及第四象限。
象限角
在二维笛卡尔坐标系中，根据 角的终边所在的象限，可以将象限角分为四个象限，即第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
注：
终边位于坐标轴上的角不属于任何象限。
终边相同角
圆心角
圆心角是指在圆心为 O 的圆中，过弧 A B AB AB 两端的半径所构成的 ∠ A O B \angle AOB ∠AOB ，称为弧 A B AB AB 所对的圆心角。
终边相同角
终边相同角是指具有 相同 始边（始边均与 X 轴重合）与终边的角。若某一个角的大小为 α \alpha α，那么所有与该角互为终边相同角的集合为
{ θ ∣ θ = α + 2 k π ( k ∈ Z ) } \{\theta ~ |~ \theta = \alpha + 2k \pi ~~ (k \in Z) \} {θ ∣ θ=α+2kπ (k∈Z)}
其中：
-
Z代表一个整数集合，而 k ∈ Z k \in Z k∈Z 则表示k为一个整数。 -
2 π 2 \pi 2π 是以弧度（而不是角度）为单位对角的大小进行的描述。 2 π 2 \pi 2π 换算为角度后的结果为 36 0 ∘ 360^\circ 360∘。
圆周长所对的圆心角为 36 0 ∘ 360^\circ 360∘。因此，无论终边的旋转方向如何，只要其旋转度数为 36 0 ∘ 360^\circ 360∘ 的整数倍，那么终边所处的位置不变。