全国数学竞赛D题思路分享

问题描述

在某些紧急救援任务中，需要进行物资空投。在地面通信系统瘫痪的情形下，为了更好地
获得准确完整的地面气象观测信息，通常对任务区域的重要目标点采用派遣气象分队的方式来
获取实时气象数据，通过卫星通信传输数据，从而保障救援任务的顺利完成。
现需派遣多支气象分队前往多个区域进行地面气象观测保障任务。一支气象分队在一个区
域的三个不同地点设立 1 个观测主站，2 个观测副站（主站编号 1，2，3，⋯；副站编号 1a，
1b，2a，2b，3a，3b，⋯）。主站部署车载型卫星通信设备 1 套，副站各部署便携型卫星通信
设备 1 套。两类卫星通信设备相关性能指标如下：
(1) 所有观测站之间只能依靠卫星通信设备进行点到点通信，且通信不受空间距离的限制。
(2) 由于受到周边电磁环境的干扰，便携型卫星通信设备发送和接收消息的成功率均为
80%，但车载型卫星通信设备发送和接收消息的成功率不受影响，均为 100%。
(3) 收发消息的主要内容为气象报文信息（简称气象报文），一条气象报文内容（含所属
站点编号）包含 100 个字符，每条消息最多可包含 158 个字符。同一条气象报文可分割成上下
两个半段分别传输。
(4) 每部卫星通信设备每次只能发送一条消息，发送两条消息的时间间隔不能小于 1 分钟；
收发通道相互独立，在发送消息时，可同时接收任意多条消息；发送和接收消息的时间非常短，
可忽略。
(5) 副站不知道本站所发送消息是否被成功接收。
现拟派遣 支分队执行任务，要求每小时各分队所属主副站对所在地点的气象信息进行
一次采集，并按下列要求通过卫星通信设备进行气象报文的信息共享，这里，气象报文的信息
共享是指任意一个观测站采集的气象信息应被成功转发到其他所有观测站。

D 题解析：主要是个概率问题，可以用概率论的方法解决，可以做蒙特卡洛实验来模拟，
一个分队会在一个地区设置 1 个主站和 2 个副站，主站之间共享成功率 100%，副站之间及
副站给主站共享成功率 80%，每个分队会在某个区域设有 1 个车载设备和 2 个便携式设备，
比如说 A 区域的 1 个便携式设备与 B 区域的车载设备完成共享，那么 A 和 B 主站间就完成
了共享，不管是车载设备还是便携式设备也好，同一分钟内只能发送一次。

思路分享

第一问（1）以一个主站和其他主站完成共享作为研究，本问中便携式设备发送和接收
成功率为 80%
设置一个 N=5:100 的循环
共有 N-1 个主站需要进行共享
设置种群大小针对种群中每个个体有：
分别给该主站 1、1a、1b 分配共享任务，该主站中的车载设备可以与其他主站的车站设
备共享，也可以与便携式设备进行共享，同一分钟下一个设备只能进行一次信息发送，是否
成功通过概率来判断即可，该主站的便携式设备也是同理。
最终返回的目标函数为完成所有共享任务后的时间 K，然后对 K 最小化寻优
（这里可以用优化算法也可以做蒙特卡洛实验，最后输出最小的 K 值）
然后绘制 N 和 K 的关系曲线
第一问（2）取 N=9，同样的方式得到输出最小 K 值，然后把对应的方案列出来就行
第二问，需要每次共享需要该地区有一个副站参与共享，也就是说 A 区域车载设备与 B
区域共享还不行，还得加上一个 A 区域的便携式设备才行，并且接收这个便携式设备的成
功率不低于 0.9，那我们怎么看，反过来，发送一次不成功率为 0.2，连续两次发送不成功率
是 0.04，那就是说完成一次成功共享，至少需要 A 区域有便携式设备发送两次才行，本问
做法与第一问相同，结果表就填写每次共享中副站与其他站的共享情况就行

第三问，……专栏分享