【小呆的力学笔记】非线性有限元的初步认识【三】

1.2.2 基于最小势能原理的线性有限元一般格式

现在市场上的有限元分析软件普遍都是基于位移法进行求解的，其数学原理就是上节的最小势能原理变分提法。回顾上节推导过程，首先需要根据位移条件确定可能位移的范围，其次根据假设的可能位移代入几何方程和本构方程，得到基于位移的应力应变的表达式，最后代入$\delta II=0$的方程求解相关待定参数。线性有限元求解的一般格式基本上也是一样的，除此之外线性有限元会多一些其他步骤，比如结构的离散化、位移模式假定等。下图为线性有限元求解的一般格式。
（加图）

1.2.2.1 离散化

将结构进行离散化建模，是有限元分析工作中的第一步，某典型的结构如下图所示，其中结构为一个圆盘，将其离散成若干四边形网格单元，如下图所示。结构离散化合适与否一定程度上决定使用有限元分析方法解决工程问题的精度。

1.2.2.2 位移插值

（a）位移模式
在最小势能原理中首先需要根据位移条件确定可能位移的范围，但是在通常的分析中，我们为了方便处理，往往将可能位移用多项式来逼近，这个过程就是单元的位移模式选择。
我们以一阶二维三角形单元为例，二维三角形单元有6各位移自由度。用多项式拟合可能位移，如下式所示

$$\begin{array}{r}u(x,y)={\overline{a}}_0+{\overline{a}}_{1}x+{\overline{a}}_{2}y\\ v(x,y)={\overline{b}}_0+{\overline{b}}_{1}x+{\overline{b}}_{2}y\end{array}\text{\hspace{1em}(1-54)}$$

（b）形函数
多项式位移模式有六个待定参数，二维三角形单元有六个节点位移变量，所以六个待定参数可以表示成六个节点位移变量的形式，如下式，待定系数满足下式。
[ u 1 u 2 u 3 ] = [ 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 ] [ a ‾ 0 a ‾ 1 a ‾ 2 ] , [ v 1 v 2 v 3 ] = [ 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 ] [ b ‾ 0 b ‾ 1 b ‾ 2 ] (1-55) \begin{aligned} \begin{bmatrix} u_1\\ u_2\\ u_3\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1\\ 1 & x_2 & y_2\\ 1 & x_3 & y_3\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overline a_0\\ \overline a_1\\ \overline a_2\\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1\\ 1 & x_2 & y_2\\ 1 & x_3 & y_3\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overline b_0\\ \overline b_1\\ \overline b_2\\ \end{bmatrix} \end{aligned}\tag{1-55} ​u1​u2​u3​​ ​= ​111​x1​x2​x3​​y1​y2​y3​​ ​ ​a0​a1​a2​​ ​, ​v1​v2​v3​​ ​= ​111​x1​x2​x3​​y1​y2​y3​​ ​ ​b0​b1​b2​​ ​​(1-55)
那么系数为
[ a ‾ 0 a ‾ 1 a ‾ 2 ] = [ 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 ] − 1 [ u 1 u 2 u 3 ] , [ b ‾ 0 b ‾ 1 b ‾ 2 ] = [ 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 ] − 1 [ v 1 v 2 v 3 ] (1-56) \begin{aligned} \begin{bmatrix} \overline a_0\\ \overline a_1\\ \overline a_2\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1\\ 1 & x_2 & y_2\\ 1 & x_3 & y_3\\ \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \overline b_0\\ \overline b_1\\ \overline b_2\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1\\ 1 & x_2 & y_2\\ 1 & x_3 & y_3\\ \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3\\ \end{bmatrix} \end{aligned}\tag{1-56} ​a0​a1​a2​​ ​= ​111​x1​x2​x3​​y1​y2​y3​​ ​−1 ​u1​u2​u3​​ ​, ​b0​b1​b2​​ ​= ​111​x1​x2​x3​​y1​y2​y3​​ ​−1 ​v1​v2​v3​​ ​​(1-56)
其中逆矩阵的求解如下
[ 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 ] − 1 = [ M i j ⋅ ( − 1 ) i + j ] T A (1-57) \begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1\\ 1 & x_2 & y_2\\ 1 & x_3 & y_3\\ \end{bmatrix}^{-1}=\frac{[M_{ij}\cdot (-1)^{i+j}]^T}{A}\tag{1-57} ​111​x1​x2​x3​​y1​y2​y3​​ ​−1=A[Mij​⋅(−1)i+j]T​(1-57)
其中$M_{ij}$为原矩阵的余子式，典型如下，其乘上$(-1{)}^{i+j}$称为代数余子式，矩阵的逆是其代数余子式组成的伴随矩阵除以该矩阵的行列式。

经过求解，系数矩阵的逆矩阵如下式
[ 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 ] − 1 = ∣ 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 ∣ − 1 ⋅ [ ∣ x 2 y 2 x 3 y 3 ∣ − ∣ x 1 y 1 x 3 y 3 ∣ ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ − ∣ 1 y 2 1 y 3 ∣ ∣ 1 y 1 1 y 3 ∣ − ∣ 1 y 1 1 y 2 ∣ ∣ 1 x 2 1 x 3 ∣ − ∣ 1 x 1 1 x 3 ∣ ∣ 1 x 1 1 x 2 ∣ ] = 1 A [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] (1-58) \begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & x_1 & y_1\\ 1 & x_2 & y_2\\ 1 & x_3 & y_3\\ \end{bmatrix}^{-1}&= \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1\\ 1 & x_2 & y_2\\ 1 & x_3 & y_3\\ \end{vmatrix}^{-1}\cdot \begin{bmatrix} \begin{vmatrix} x_2 & y_2\\ x_3 & y_3\\ \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} x_1 & y_1\\ x_3 & y_3\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} x_1 & y_1\\ x_2 & y_2\\ \end{vmatrix}\\ & & \\ -\begin{vmatrix} 1 & y_2\\ 1 & y_3\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & y_1\\ 1 & y_3\\ \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & y_1\\ 1 & y_2\\ \end{vmatrix}\\& & \\ \begin{vmatrix} 1 & x_2\\ 1 & x_3\\ \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & x_1\\ 1 & x_3\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & x_1\\ 1 & x_2\\ \end{vmatrix}\\ \end{bmatrix} \\=\frac{1}{A}\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3\\ \end{bmatrix} \end{aligned}\tag{1-58} ​111​x1​x2​x3​​y1​y2​y3​​ ​−1=A1​ ​a1​b1​c1​​a2​b2​c2​​a3​b3​c3​​ ​​= ​111​x1​x2​x3​​y1​y2​y3​​ ​−1⋅ ​ ​x2​x3​​y2​y3​​ ​− ​11​y2​y3​​ ​ ​11​x2​x3​​ ​​− ​x1​x3​​y1​y3​​ ​ ​11​y1​y3​​ ​− ​11​x1​x3​​ ​​ ​x1​x2​​y1​y2​​ ​− ​11​y1​y2​​ ​ ​11​x1​x2​​ ​​ ​​(1-58)
那么，系数可以表达成
$$\begin{array}{r}{\overline{a}}_0=\frac{1}{A}(a_1{u}_1+a_2{u}_2+a_3{u}_3)\\ {\overline{a}}_1=\frac{1}{A}(b_1{u}_1+b_2{u}_2+b_3{u}_3)\\ {\overline{a}}_2=\frac{1}{A}(c_1{u}_1+c_2{u}_2+c_3{u}_3)\end{array}\text{\hspace{1em}(1-59)}$$
上式代入位移模式，可得
$$\begin{array}{rl}u(x,y)& ={\overline{a}}_0+{\overline{a}}_{1}x+{\overline{a}}_{2}y\\ & =\frac{1}{A}(a_1{u}_1+a_2{u}_2+a_3{u}_3)+\frac{1}{A}(b_1{u}_1+b_2{u}_2+b_3{u}_3)x+\frac{1}{A}(c_1{u}_1+c_2{u}_2+c_3{u}_3)y\\ & =\frac{1}{A}(a_1+b_{1}x+c_{1}y)u_1+\frac{1}{A}(a_2+b_{2}x+c_{2}y)u_2+\frac{1}{A}(a_3+b_{3}x+c_{3}y)u_3\\ & =N_1(x,y)u_1+N_2(x,y)u_2+N_3(x,y)u_3\end{array}\text{\hspace{1em}(1-60)}$$
同理，可得
$$\begin{array}{rl}v(x,y)& ={\overline{a}}_0+{\overline{a}}_{1}x+{\overline{a}}_{2}y\\ & =\frac{1}{A}(a_1{v}_1+a_2{v}_2+a_3{v}_3)+\frac{1}{A}(b_1{v}_1+b_2{v}_2+b_3{v}_3)x+\frac{1}{A}(c_1{v}_1+c_2{v}_2+c_3{v}_3)y\\ & =\frac{1}{A}(a_1+b_{1}x+c_{1}y)v_1+\frac{1}{A}(a_2+b_{2}x+c_{2}y)v_2+\frac{1}{A}(a_3+b_{3}x+c_{3}y)v_3\\ & =N_1(x,y)v_1+N_2(x,y)v_2+N_3(x,y)v_3\end{array}\text{\hspace{1em}(1-61)}$$
可以将二维三角形单元内任意一点的位移写成矩阵的形式，如下
u ( x , y ) = [ u ( x , y ) v ( x , y ) ] = [ N 1 ( x , y ) 0 N 2 ( x , y ) 0 N 3 ( x , y ) 0 0 N 1 ( x , y ) 0 N 2 ( x , y ) 0 N 3 ( x , y ) ] [ u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 ] = N ( x , y ) ⋅ q e (1-62) \begin{aligned} \mathbf u(x,y) = \begin{bmatrix} u(x,y)\\ v(x,y)\\ \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} N_1(x,y) & 0 & N_2(x,y) & 0 & N_3(x,y) & 0\\ 0 & N_1(x,y) & 0 & N_2(x,y) & 0 & N_3(x,y)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1\\v_1\\u_2\\v_2\\u_3\\v_3 \end{bmatrix}\\&=\mathbf N(x,y)\cdot \mathbf q^e \end{aligned}\tag{1-62} u(x,y)=[u(x,y)v(x,y)​]​=[N1​(x,y)0​0N1​(x,y)​N2​(x,y)0​0N2​(x,y)​N3​(x,y)0​0N3​(x,y)​] ​u1​v1​u2​v2​u3​v3​​ ​=N(x,y)⋅qe​(1-62)
我们称$\mathbf{N}(x,y)$为形状函数矩阵，而 ${\mathbf{q}}^e$为单元的节点位移列阵。形状函数矩阵作用 就是用节点位移列阵插值得到任意一点位移的插值函数。

1.2.2.3 单元应变

应变和位移的关系由几何方程确定，在本文二维的例子中，应变仅有三个分量，那么应变与位移的关系可以如下式所示。
ε ( x , y ) = [ ε x x ε y y γ x y ] = [ ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x ] = [ ∂ ∂ x 0 0 ∂ ∂ y ∂ ∂ y ∂ ∂ x ] ⋅ [ u ( x , y ) v ( x , y ) ] = [ ∂ ∂ x 0 0 ∂ ∂ y ∂ ∂ y ∂ ∂ x ] ⋅ N ( x , y ) ⋅ q e = B ( x , y ) ⋅ q e (1-63) \begin{aligned} \boldsymbol{\varepsilon}(x,y) = \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx}\\ \varepsilon_{yy}\\ \gamma_{xy} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}\\ \frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x} & 0\\ 0 & \frac{\partial }{\partial y}\\ \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial x} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} u(x,y)\\ v(x,y) \end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix} \frac{\partial }{\partial x} & 0\\ 0 & \frac{\partial }{\partial y}\\ \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial x} \end{bmatrix}\cdot\mathbf N(x,y)\cdot \mathbf q^e\\&=\mathbf B(x,y)\cdot \mathbf q^e \end{aligned}\tag{1-63} ε(x,y)= ​εxx​εyy​γxy​​ ​= ​∂x∂u​∂y∂v​∂y∂u​+∂x∂v​​ ​​= ​∂x∂​0∂y∂​​0∂y∂​∂x∂​​ ​⋅[u(x,y)v(x,y)​]= ​∂x∂​0∂y∂​​0∂y∂​∂x∂​​ ​⋅N(x,y)⋅qe=B(x,y)⋅qe​(1-63)

1.2.2.4 单元应力

应力应变关系又成本构方程，在线性范围内，应力与应变的关系写成矩阵如下(本例中为二维三角形单元，应力分量只有三个)
σ ( x , y ) = [ σ x x σ y y τ x y ] = E 1 − μ 2 [ 1 μ 0 μ 1 0 0 0 1 − μ 2 ] [ ε x x ε y y γ x y ] = D ( x , y ) ⋅ ε ( x , y ) = D ( x , y ) ⋅ B ( x , y ) ⋅ q e = S ( x , y ) ⋅ q e (1-64) \begin{aligned} \boldsymbol{\sigma}(x,y) = \begin{bmatrix} \sigma_{xx}\\ \sigma_{yy}\\ \tau_{xy} \end{bmatrix}&= \frac{E}{1-\mu^2}\begin{bmatrix} 1 & \mu & 0\\ \mu & 1 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1-\mu}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \varepsilon_{xx}\\ \varepsilon_{yy}\\ \gamma_{xy} \end{bmatrix}\\ &=\mathbf D(x,y)\cdot \boldsymbol{\varepsilon}(x,y)\\ &=\mathbf D(x,y)\cdot \mathbf B(x,y)\cdot \mathbf q^e\\ &=\mathbf S(x,y)\cdot \mathbf q^e \end{aligned}\tag{1-64} σ(x,y)= ​σxx​σyy​τxy​​ ​​=1−μ2E​ ​1μ0​μ10​0021−μ​​ ​ ​εxx​εyy​γxy​​ ​=D(x,y)⋅ε(x,y)=D(x,y)⋅B(x,y)⋅qe=S(x,y)⋅qe​(1-64)

1.2.2.5 单元刚度矩阵

回顾物体的总势能表达式，并将其写成矩阵的形式
$$\begin{array}{rl}II& =\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }{\sigma }_{ij}{\epsilon }_{ij}d\Omega -{\int }_{\Omega }{b}_i{u}_{i}d\Omega -{\int }_A{p}_i{u}_{i}dA\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }{\mathbf{\sigma }}^T\mathbf{\epsilon }\mathbf{d}\Omega -{\int }_{\Omega }{\mathbf{b}}^T\mathbf{ud}\Omega -{\int }_A{\mathbf{p}}^T\mathbf{ud}A\end{array}\text{\hspace{1em}(1-65)}$$
将前述单元的应力、应变矩阵等代入上式，建立单元的总势能表达式，如下所示

$$\begin{array}{rl}II& =\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }{\mathbf{\sigma }}^T\mathbf{\epsilon }\mathbf{d}\Omega -{\int }_{\Omega }{\mathbf{b}}^T\mathbf{ud}\Omega -{\int }_A{\mathbf{p}}^T\mathbf{ud}A\\ & =\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }{{\mathbf{q}}^{\mathbf{e}}}^T{\mathbf{B}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{D}}^{\mathbf{T}}\mathbf{B}{\mathbf{q}}^{\mathbf{e}}\mathbf{d}\Omega -{\int }_{\Omega }{\mathbf{b}}^T\mathbf{N}{\mathbf{q}}^{\mathbf{e}}\mathbf{d}\Omega -{\int }_A{\mathbf{p}}^T\mathbf{N}{\mathbf{q}}^{\mathbf{e}}\mathbf{d}A\\ & =\frac{1}{2}{{\mathbf{q}}^{\mathbf{e}}}^T({\int }_{\Omega }{\mathbf{B}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{D}}^{\mathbf{T}}\mathbf{Bd}\Omega ){\mathbf{q}}^{\mathbf{e}}-({\int }_{\Omega }{\mathbf{b}}^T\mathbf{Nd}\Omega +{\int }_A{\mathbf{p}}^T\mathbf{Nd}A){\mathbf{q}}^{\mathbf{e}}\\ & =\frac{1}{2}{{\mathbf{q}}^{\mathbf{e}}}^T{\mathbf{K}}^{\mathbf{e}}{\mathbf{q}}^{\mathbf{e}}-{{\mathbf{P}}^{\mathbf{e}}}^T{\mathbf{q}}^{\mathbf{e}}\end{array}\text{\hspace{1em}(1-66)}$$
回顾之前最小势能原理，真实位移是使得势能取得最小值，上式是单元的总势能，那么真实的位移使得势能取到最小值，也就是说总势能一阶变分为零，即
$$\delta II=\frac{\partial II}{\partial q^e}\delta q^e=({\mathbf{K}}^{\mathbf{e}}{\mathbf{q}}^{\mathbf{e}}-{\mathbf{P}}^{\mathbf{e}})\delta q^e=0\text{\hspace{1em}(1-67)}$$
由于$\delta q^e$的任意性，可以得到
$${\mathbf{K}}^{\mathbf{e}}{\mathbf{q}}^{\mathbf{e}}-{\mathbf{P}}^{\mathbf{e}}=0\text{\hspace{1em}(1-68)}$$
其中${\mathbf{K}}^{\mathbf{e}}$为单元刚度矩阵（由上式中的量纲分析，${\mathbf{K}}^{\mathbf{e}}$为刚度的量纲），${\mathbf{P}}^{\mathbf{e}}$为节点等效载荷。

1.2.2.6 整体刚度矩阵

对于物体来说，一般有多个单元，那么就可以建立多个单元平衡方程，如下所示
$${\mathbf{K}}_{(\mathbf{i})}^{\mathbf{e}}{\mathbf{q}}_{(\mathbf{i})}^{\mathbf{e}}-{\mathbf{P}}_{(\mathbf{i})}^{\mathbf{e}}=0\text{\hspace{1em}(1-69)}$$
按照顺序将所有的单元的节点位移组成总体节点位移列阵，相应的节点等效载荷和单元刚度矩阵组成总体节点等效载荷列阵和整体刚度矩阵，以下图为例，下图总共有两个单元，得到两个单元平衡方程
[ k 11 1 k 12 1 k 13 1 k 14 1 k 15 1 k 16 1 k 21 1 k 22 1 k 23 1 k 24 1 k 25 1 k 26 1 k 31 1 k 32 1 k 33 1 k 34 1 k 35 1 k 36 1 k 41 1 k 42 1 k 43 1 k 44 1 k 45 1 k 46 1 k 51 1 k 52 1 k 53 1 k 54 1 k 55 1 k 56 1 k 61 1 k 62 1 k 63 1 k 64 1 k 65 1 k 66 1 ] [ u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 ] = [ p x 1 1 p y 1 1 p x 2 1 p y 2 1 p x 3 1 p y 3 1 ] [ k 11 2 k 12 2 k 13 2 k 14 2 k 15 2 k 16 2 k 21 2 k 22 2 k 23 2 k 24 2 k 25 2 k 26 2 k 31 2 k 32 2 k 33 2 k 34 2 k 35 2 k 36 2 k 41 2 k 42 2 k 43 2 k 44 2 k 45 2 k 46 2 k 51 2 k 52 2 k 53 2 k 54 2 k 55 2 k 56 2 k 61 2 k 62 2 k 63 2 k 64 2 k 65 2 k 66 2 ] [ u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4 ] = [ p x 2 2 p y 2 2 p x 3 2 p y 3 2 p x 4 2 p y 4 2 ] (1-70) \begin{aligned} \begin{bmatrix} k^1_{11} & k^1_{12} & k^1_{13} & k^1_{14} & k^1_{15} & k^1_{16}\\ k^1_{21} & k^1_{22} & k^1_{23} & k^1_{24} & k^1_{25} & k^1_{26}\\ k^1_{31} & k^1_{32} & k^1_{33} & k^1_{34} & k^1_{35} & k^1_{36}\\ k^1_{41} & k^1_{42} & k^1_{43} & k^1_{44} & k^1_{45} & k^1_{46}\\ k^1_{51} & k^1_{52} & k^1_{53} & k^1_{54} & k^1_{55} & k^1_{56}\\ k^1_{61} & k^1_{62} & k^1_{63} & k^1_{64} & k^1_{65} & k^1_{66} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{1}\\ v_{1}\\u_{2}\\ v_{2}\\u_{3}\\ v_{3}\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p^1_{x1}\\ p^1_{y1}\\p^1_{x2}\\ p^1_{y2}\\p^1_{x3}\\ p^1_{y3}\\ \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} k^2_{11} & k^2_{12} & k^2_{13} & k^2_{14} & k^2_{15} & k^2_{16}\\ k^2_{21} & k^2_{22} & k^2_{23} & k^2_{24} & k^2_{25} & k^2_{26}\\ k^2_{31} & k^2_{32} & k^2_{33} & k^2_{34} & k^2_{35} & k^2_{36}\\ k^2_{41} & k^2_{42} & k^2_{43} & k^2_{44} & k^2_{45} & k^2_{46}\\ k^2_{51} & k^2_{52} & k^2_{53} & k^2_{54} & k^2_{55} & k^2_{56}\\ k^2_{61} & k^2_{62} & k^2_{63} & k^2_{64} & k^2_{65} & k^2_{66} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{2}\\ v_{2}\\u_{3}\\ v_{3}\\u_{4}\\ v_{4}\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p^2_{x2}\\ p^2_{y2}\\p^2_{x3}\\ p^2_{y3}\\p^2_{x4}\\ p^2_{y4}\\ \end{bmatrix}\end{aligned}\tag{1-70} ​k111​k211​k311​k411​k511​k611​​k121​k221​k321​k421​k521​k621​​k131​k231​k331​k431​k531​k631​​k141​k241​k341​k441​k541​k641​​k151​k251​k351​k451​k551​k651​​k161​k261​k361​k461​k561​k661​​ ​ ​u1​v1​u2​v2​u3​v3​​ ​= ​px11​py11​px21​py21​px31​py31​​ ​ ​k112​k212​k312​k412​k512​k612​​k122​k222​k322​k422​k522​k622​​k132​k232​k332​k432​k532​k632​​k142​k242​k342​k442​k542​k642​​k152​k252​k352​k452​k552​k652​​k162​k262​k362​k462​k562​k662​​ ​ ​u2​v2​u3​v3​u4​v4​​ ​= ​px22​py22​px32​py32​px42​py42​​ ​​(1-70)
叠加整理后，整体平衡方程为
[ k 11 1 k 12 1 k 13 1 k 14 1 k 15 1 k 16 1 0 0 k 21 1 k 22 1 k 23 1 k 24 1 k 25 1 k 26 1 0 0 k 31 1 k 32 1 k 33 1 + k 11 2 k 34 1 + k 12 2 k 35 1 + k 13 2 k 36 1 + k 14 2 k 15 2 k 16 2 k 41 1 k 42 1 k 43 1 + k 21 2 k 44 1 + k 22 2 k 45 1 + k 23 2 k 46 1 + k 24 2 k 25 2 k 26 2 k 51 1 k 52 1 k 53 1 + k 31 2 k 54 1 + k 32 2 k 55 1 + k 33 2 k 56 1 + k 34 2 k 35 2 k 36 2 k 61 1 k 62 1 k 63 1 + k 41 2 k 64 1 + k 42 2 k 65 1 + k 43 2 k 66 1 + k 44 2 k 45 2 k 46 2 0 0 k 51 2 k 52 2 k 53 2 k 54 2 k 55 2 k 56 2 0 0 k 61 2 k 62 2 k 63 2 k 64 2 k 65 2 k 66 2 ] [ u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4 ] = [ p x 1 1 p y 1 1 p x 2 1 + p x 2 2 p y 2 1 + p y 2 2 p x 3 1 + p x 3 2 p y 3 1 + p y 3 2 p x 4 2 p y 4 2 ] (1-71) \begin{bmatrix} k^1_{11} & k^1_{12} & k^1_{13} & k^1_{14} & k^1_{15} & k^1_{16} & 0 & 0\\ k^1_{21} & k^1_{22} & k^1_{23} & k^1_{24} & k^1_{25} & k^1_{26} & 0 & 0\\ k^1_{31} & k^1_{32} & k^1_{33}+k^2_{11} & k^1_{34}+k^2_{12} & k^1_{35}+k^2_{13} & k^1_{36}+k^2_{14} & k^2_{15} & k^2_{16}\\ k^1_{41}& k^1_{42} & k^1_{43}+k^2_{21}& k^1_{44}+k^2_{22}& k^1_{45} +k^2_{23} & k^1_{46}+k^2_{24} & k^2_{25} & k^2_{26}\\ k^1_{51}& k^1_{52}& k^1_{53}+k^2_{31} & k^1_{54}+k^2_{32} & k^1_{55}+k^2_{33} & k^1_{56}+k^2_{34} & k^2_{35} & k^2_{36}\\ k^1_{61}& k^1_{62}& k^1_{63}+k^2_{41} & k^1_{64}+k^2_{42} & k^1_{65}+k^2_{43} & k^1_{66}+k^2_{44} & k^2_{45} & k^2_{46}\\ 0 & 0 & k^2_{51} & k^2_{52} & k^2_{53} & k^2_{54} & k^2_{55} & k^2_{56}\\ 0 & 0 & k^2_{61} & k^2_{62} & k^2_{63} & k^2_{64} & k^2_{65} & k^2_{66} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{1}\\ v_{1}\\u_{2}\\ v_{2}\\u_{3}\\ v_{3}\\u_{4}\\ v_{4}\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} p^1_{x1}\\ p^1_{y1}\\p^1_{x2}+p^2_{x2}\\ p^1_{y2}+p^2_{y2}\\p^1_{x3}+p^2_{x3}\\ p^1_{y3}+p^2_{y3}\\p^2_{x4}\\ p^2_{y4}\\ \end{bmatrix}\tag{1-71} ​k111​k211​k311​k411​k511​k611​00​k121​k221​k321​k421​k521​k621​00​k131​k231​k331​+k112​k431​+k212​k531​+k312​k631​+k412​k512​k612​​k141​k241​k341​+k122​k441​+k222​k541​+k322​k641​+k422​k522​k622​​k151​k251​k351​+k132​k451​+k232​k551​+k332​k651​+k432​k532​k632​​k161​k261​k361​+k142​k461​+k242​k561​+k342​k661​+k442​k542​k642​​00k152​k252​k352​k452​k552​k652​​00k162​k262​k362​k462​k562​k662​​ ​ ​u1​v1​u2​v2​u3​v3​u4​v4​​ ​= ​px11​py11​px21​+px22​py21​+py22​px31​+px32​py31​+py32​px42​py42​​ ​(1-71)

1.2.2.7 处理约束

如果在上例中，假设节点1为约束，那么$u_1=v_1=0$，上式变为
[ k 11 1 k 12 1 k 13 1 k 14 1 k 15 1 k 16 1 0 0 k 21 1 k 22 1 k 23 1 k 24 1 k 25 1 k 26 1 0 0 k 31 1 k 32 1 k 33 1 + k 11 2 k 34 1 + k 12 2 k 35 1 + k 13 2 k 36 1 + k 14 2 k 15 2 k 16 2 k 41 1 k 42 1 k 43 1 + k 21 2 k 44 1 + k 22 2 k 45 1 + k 23 2 k 46 1 + k 24 2 k 25 2 k 26 2 k 51 1 k 52 1 k 53 1 + k 31 2 k 54 1 + k 32 2 k 55 1 + k 33 2 k 56 1 + k 34 2 k 35 2 k 36 2 k 61 1 k 62 1 k 63 1 + k 41 2 k 64 1 + k 42 2 k 65 1 + k 43 2 k 66 1 + k 44 2 k 45 2 k 46 2 0 0 k 51 2 k 52 2 k 53 2 k 54 2 k 55 2 k 56 2 0 0 k 61 2 k 62 2 k 63 2 k 64 2 k 65 2 k 66 2 ] [ 0 0 u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4 ] = [ R x 1 R y 1 p x 2 1 + p x 2 2 p y 2 1 + p y 2 2 p x 3 1 + p x 3 2 p y 3 1 + p y 3 2 p x 4 2 p y 4 2 ] (1-72) \begin{bmatrix} k^1_{11} & k^1_{12} & k^1_{13} & k^1_{14} & k^1_{15} & k^1_{16} & 0 & 0\\ k^1_{21} & k^1_{22} & k^1_{23} & k^1_{24} & k^1_{25} & k^1_{26} & 0 & 0\\ k^1_{31} & k^1_{32} & k^1_{33}+k^2_{11} & k^1_{34}+k^2_{12} & k^1_{35}+k^2_{13} & k^1_{36}+k^2_{14} & k^2_{15} & k^2_{16}\\ k^1_{41}& k^1_{42} & k^1_{43}+k^2_{21}& k^1_{44}+k^2_{22}& k^1_{45} +k^2_{23} & k^1_{46}+k^2_{24} & k^2_{25} & k^2_{26}\\ k^1_{51}& k^1_{52}& k^1_{53}+k^2_{31} & k^1_{54}+k^2_{32} & k^1_{55}+k^2_{33} & k^1_{56}+k^2_{34} & k^2_{35} & k^2_{36}\\ k^1_{61}& k^1_{62}& k^1_{63}+k^2_{41} & k^1_{64}+k^2_{42} & k^1_{65}+k^2_{43} & k^1_{66}+k^2_{44} & k^2_{45} & k^2_{46}\\ 0 & 0 & k^2_{51} & k^2_{52} & k^2_{53} & k^2_{54} & k^2_{55} & k^2_{56}\\ 0 & 0 & k^2_{61} & k^2_{62} & k^2_{63} & k^2_{64} & k^2_{65} & k^2_{66} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ 0\\u_{2}\\ v_{2}\\u_{3}\\ v_{3}\\u_{4}\\ v_{4}\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R_{x1}\\ R_{y1}\\p^1_{x2}+p^2_{x2}\\ p^1_{y2}+p^2_{y2}\\p^1_{x3}+p^2_{x3}\\ p^1_{y3}+p^2_{y3}\\p^2_{x4}\\ p^2_{y4}\\ \end{bmatrix}\tag{1-72} ​k111​k211​k311​k411​k511​k611​00​k121​k221​k321​k421​k521​k621​00​k131​k231​k331​+k112​k431​+k212​k531​+k312​k631​+k412​k512​k612​​k141​k241​k341​+k122​k441​+k222​k541​+k322​k641​+k422​k522​k622​​k151​k251​k351​+k132​k451​+k232​k551​+k332​k651​+k432​k532​k632​​k161​k261​k361​+k142​k461​+k242​k561​+k342​k661​+k442​k542​k642​​00k152​k252​k352​k452​k552​k652​​00k162​k262​k362​k462​k562​k662​​ ​ ​00u2​v2​u3​v3​u4​v4​​ ​= ​Rx1​Ry1​px21​+px22​py21​+py22​px31​+px32​py31​+py32​px42​py42​​ ​(1-72)
其中$R_{x1}、R_{y1}$为支反力，将上式化为两个方程
[ k 33 1 + k 11 2 k 34 1 + k 12 2 k 35 1 + k 13 2 k 36 1 + k 14 2 k 15 2 k 16 2 k 43 1 + k 21 2 k 44 1 + k 22 2 k 45 1 + k 23 2 k 46 1 + k 24 2 k 25 2 k 26 2 k 53 1 + k 31 2 k 54 1 + k 32 2 k 55 1 + k 33 2 k 56 1 + k 34 2 k 35 2 k 36 2 k 63 1 + k 41 2 k 64 1 + k 42 2 k 65 1 + k 43 2 k 66 1 + k 44 2 k 45 2 k 46 2 k 51 2 k 52 2 k 53 2 k 54 2 k 55 2 k 56 2 k 61 2 k 62 2 k 63 2 k 64 2 k 65 2 k 66 2 ] [ u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4 ] = [ p x 2 1 + p x 2 2 p y 2 1 + p y 2 2 p x 3 1 + p x 3 2 p y 3 1 + p y 3 2 p x 4 2 p y 4 2 ] K ‾ q ‾ e = P ‾ (1-73) \begin{aligned}\begin{bmatrix} k^1_{33}+k^2_{11} & k^1_{34}+k^2_{12} & k^1_{35}+k^2_{13} & k^1_{36}+k^2_{14} & k^2_{15} & k^2_{16}\\ k^1_{43}+k^2_{21}& k^1_{44}+k^2_{22}& k^1_{45} +k^2_{23} & k^1_{46}+k^2_{24} & k^2_{25} & k^2_{26}\\ k^1_{53}+k^2_{31} & k^1_{54}+k^2_{32} & k^1_{55}+k^2_{33} & k^1_{56}+k^2_{34} & k^2_{35} & k^2_{36}\\ k^1_{63}+k^2_{41} & k^1_{64}+k^2_{42} & k^1_{65}+k^2_{43} & k^1_{66}+k^2_{44} & k^2_{45} & k^2_{46}\\ k^2_{51} & k^2_{52} & k^2_{53} & k^2_{54} & k^2_{55} & k^2_{56}\\ k^2_{61} & k^2_{62} & k^2_{63} & k^2_{64} & k^2_{65} & k^2_{66} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{2}\\ v_{2}\\u_{3}\\ v_{3}\\u_{4}\\ v_{4}\\ \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} p^1_{x2}+p^2_{x2}\\ p^1_{y2}+p^2_{y2}\\p^1_{x3}+p^2_{x3}\\ p^1_{y3}+p^2_{y3}\\p^2_{x4}\\ p^2_{y4}\\ \end{bmatrix}\\ \overline K \overline q^e&=\overline P \end{aligned}\tag{1-73} ​k331​+k112​k431​+k21