【920信号与系统笔记】第二章 连续时间系统的时域分析

2.1引言

综述

线性连续时间系统的时域分析，就是建立和求解线性微分方程的过程

n阶线性系统

1.数学模型

2.解法

古典解法

解法：系统全响应 = 自然响应（齐次方程通解）+ 受迫响应（非齐次方程特解）
缺点：对于复杂激励信号的求解困难

近代时域法（卷积法、算子法）

解法： 系统全响应 = 零输入响应 （古典解法求解）+ 零状态响应（叠加积分法或变换域法）

叠加积分法

1.本质

利用线性系统的齐次性和叠加性，将各个子信号的响应叠加得到整个系统的零状态响应

2. 待解决问题

选用何种子信号作为任意复杂信号的基础
如何分解复杂信号
如何求子信号响应
如何将子信号响应叠加

2.2系统方程的算子表示法

算子及其运算规则

1.微分算子和积分算子

2.运算规则

  代数运算规则一般适用，只是在分子分母中或在等式两边相同的算子符号不能随便消去

3.电容和电感的伏安特性

转移算子

1.定义

2.用转移算子表示响应与激励之间的关系

2.3系统零输入响应

本质

求解齐次线性微分方程

解法

1.解系统的特征方程：求转移算子H（p）的极点
2.根据特征根确定解的形式

当特征根全为单根时（式中的λ即为自然频率）

当特征根有k重根时

当特征根为虚数时

3.根据初始条件确定待定系数（n阶微分方程应有n个初始条件）

2.4奇异函数

定义

一种理想化函数，这些函数或其各阶导数都有一个或多个间断点，这些点上的导数值用一般方法不好确定

作用

用于信号的时域分解

常用的奇异函数

1.单位阶跃函数

波形

表达式

注：阶跃函数在发生跃变的地方，函数值未定义。
裁切作用：任何函数乘以ε(t)，相当于将t<0部分全部切除的作用，使之成为有始函数。

2.单位冲激函数

注意：单位冲激函数零点的值是无穷，单位样值函数零点的值是1

波形

定义

性质

1.抽样性质

2.单位阶跃函数和单位冲激函数互为微分和积分关系
3. 单位冲激函数是偶函数
4.是非功非能信号
5.尺度变换性质

6.单位冲激函数的导数是冲激偶

性质： 当t趋于零负时，为强度无限大的正冲激函数；当t趋于零正时，为强度无限大的负冲激函数。
波形：

2.5信号时域分解

任意函数表示为阶跃信号的和（了解即可）

任意函数表示为冲激函数的和

核心思想：分割求近似，求和取极限。
应用范围：可用于有始信号分解，也可用于一般信号。
公式

2.6阶跃和冲激响应

定义

阶跃响应：系统对阶跃信号的零状态响应
冲激响应：系统对冲激信号的零状态响应

两者关系

单位冲激响应应当是单位阶跃响应的导数

0时刻的概念

零负时刻：起始状态
零正时刻：初始状态
要加以区分的原因：激励若是奇异函数，t=0时刻状态可能发生跳变，实际工程中不存在此情况。

冲激响应的求解方法

系统方程法：根据微分方程求解，核心步骤是部分分式分解，理论基础是拉氏变换

系统平衡法：纯数学方法，难以掌握
初始条件法：将冲激激励转化为零正时刻的初始条件，然后利用零输入响应的求解方法。
LT变换法（最常用）： 即拉氏变换法，H(s)进行拉氏反变换

2.7叠加积分

目的

通过冲激响应或阶跃响应求解系统对激励信号的响应，即零状态响应

通过阶跃响应求解系统响应（了解即可）

通过冲激响应求解系统响应

卷积积分公式

应用范围：有始信号作用于因果系统，且为线性非时变系统。
积分下限取0-的原因：考虑到t=0处可能有冲激函数或其导数存在

2.8卷积及其性质

定义式

几何步骤

反褶—>平移—>相乘—>叠加（积分）

常见的卷积积分表

两个门函数卷积

注：从门函数卷积可以看出两个时限信号卷积一定是越卷越长

门函数宽度相同

宽度不同

卷积的性质

互换率
分配律
结合律
函数卷积后的微分：两个函数相卷积后的导数等于两函数其中之一的导数与另外一函数相卷积
函数卷积后的积分：两个函数相卷积后的积分等于两函数之一的积分与另一函数相卷积
函数延时后的卷积

2.9线性系统响应的时域求解

求解步骤

1.求系统的转移算子
2.求系统的零输入响应（如果初始条件为零，则可跳过本步）
3.求系统的零状态响应（先求冲激响应，再通过卷积积分）
4.叠加：总响应 = 零输入 + 零状态

自然响应和受迫响应

自然响应：指数部分t函数前的系数为系统的特征频率的分量（由系统本身的性质决定）
受迫响应：指数部分t函数前的系数不是系统的特征频率的分量（由激励信号的性质决定）

瞬态响应和稳态响应

瞬态响应：随着时间增长趋于零的分量
稳态响应：随着时间增长趋于稳定的分量

三组概念间的关系

零输入响应：完全由系统性质决定，所以属于自然响应一部分
零状态响应：由系统性质（对应部分自然响应）和激励信号（对应受迫响应）一起决定。
也可以由第五章零状态响应的极点来理解。
以上为个人理解。