机械臂速成小指南（二十二）：机械臂逆运动学的数值解方法

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机械臂速成小指南（零）：指南主要内容及分析方法

机械臂速成小指南（一）：机械臂发展概况

机械臂速成小指南（二）：机械臂的应用

机械臂速成小指南（三）：机械臂的机械结构

机械臂速成小指南（四）：机械臂关键部件之减速机

机械臂速成小指南（五）：末端执行器

机械臂速成小指南（六）：步进电机驱动器

机械臂速成小指南（七）：机械臂位姿的描述方法

机械臂速成小指南（八）：运动学建模（标准DH法）

机械臂速成小指南（九）：正运动学分析

机械臂速成小指南（十）：可达工作空间

机械臂速成小指南（十一）：坐标系的标准命名

机械臂速成小指南（十二）：逆运动学分析

机械臂速成小指南（十三）：轨迹规划概述

机械臂速成小指南（十四）：多项式插值轨迹规划

机械臂速成小指南（十五）：线性规划

机械臂速成小指南（十六）：带抛物线过渡的线性规划

机械臂速成小指南（十七）：直线规划 

机械臂速成小指南（十八）：圆弧规划

机械臂速成小指南（十九）：机械臂的电路板抓取实验

机械臂速成小指南（二十）：机械臂的位姿重复性实验

机械臂速成小指南（二十一）：几何雅可比矩阵

机械臂速成小指南（二十二）：机械臂逆运动学的数值解方法

机械臂速成小指南（二十三）：Paul方法求解机械臂运动学逆解（含matlab代码） 

以下为正文

        通过第九章的分析我们不难得出机械臂的运动学方程：

式1

        其中，n，o，a表示为机械臂末端的姿态，p_x，p_y，p_z表示为机械臂末端的位置。

        所谓的机械臂逆运动学数值解就是采用某种计算方法得到上的一组近似解，能在满足给定精度的情况下使式1成立。数值解法只能求出方程的特解,不能求出所有的解。数值解法主要有数值逼近法、差值法、有限元法等。

        例如，可用迭代的方法最小化机械臂末端执行器与目标点之间的距离，求出机械臂的运动学逆解。数值解法的优点是计算简单，不需要做矩阵转换；缺点是迭代次数多，实时性差，不适合用于实时性要求高的场合，且机器人运动过程中的位形不可预测，不适合用于障碍空间中机械臂的运动解算。

        下面，我们以一个两自由度机械臂说明如何采用数值解法求机械臂的逆解。

        上图所示是一个两自由度机械臂的机构简图，它有一个旋转关节和一个移动关节。
        我们首先采用几何法可求得机器人的正向运动学模型：

        将机械臂目标位置与当前位置的差定义为向量函数 f(X)：

         机械臂运动到目标位置意味着 f(X)的模最小，因此利用f(X)建立目标函数：

式2

        这样就将械臂运动学求逆问题转化为求min F(X) 

        F(X)的一阶泰勒展开式（Taylor Formula）为:

        其中，h为二维向量，表示X偏移的方向，k为h的系数。

        于是有：

        其中，a是h和F(X)的夹角。由此可见，当 a=π时，F(X)下降最快，即-F'(X)是F(X)最快下降方向。

        由式2可得：

        使用最快下降法（steepest descent）可得到关节的位移量

        因此可得该机械臂的逆运动学反解的数值迭代式为: