斐波那契数列 C++的三种实现方式（动规入门）

斐波那契数列 C++的三种实现方式（动规入门）

问题描述:
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：
F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）
求斐波那契数列中的第n个对应的值

递归版本：

//斐波那契    递归 
#include
#include//控制输出 
using namespace std;
long long int fib(long long int n){
	if( n= =0 || n= =1){
		return n;//递归终止条件  
	}
	else{
		return fib(n-1)+fib(n-2);//递归调用 
	}
}

int main(){
	for(int i=0;i<50;i++){
		long long int a=fib(i);
		cout<<i<<setw(15)//控制输出格式 
		<<a<<endl;
	}
	return 0;
}

然而，以求第50项为例
耗时128秒之久（当然这与硬件等有关），那么它的时间复杂度是多少呢

图片来源：清华教授邓俊辉网课

可见时间复杂度是O（2^n），由于多次重复调用造成时间浪费

解决方法1：

迭代法：

采用逆序的方法计算：用两个long long型，从第0项和第1项开始往后计算，不断循环循环即可解决

//斐波那契 迭代 未存储版 
#include
#include //控制输出 
using namespace std;

int main(){
	long long int p=0,q=1,i=-1;//列出第0和第1项，以及计算标志i 
	while(++i<50){//此处采用前置加加来控制输出
		cout<<i<<setw(15)<<p<<endl; //只需要不断循环 
		q=p+q;
		p=q-p;		
	}
	return 0;
}

这样时间复杂度即降为O（n）

解决方法1：

数组存储：

开辟全局数组储存，每次调用时判断是否已经调用过（即该位置的斐波那契数是否已经计算出），可以减少不必要的调用

//斐波那契 动规2.0(现学现卖)
#include
#include
using namespace std;
long long int fib[50]={0};//开辟全局数组存储，以0表示未调用过 
//以0可以作为标识的原因是n==0时可以直接返回0，不存在歧义
long long int Fib(int n){
	if( (n==0) || (n==1) ){//终止条件 
		fib[n]=n;
		return n;
	}
	else{
		if(fib[n] == 0){// 如果该数字未被调用过 
			fib[n]=Fib(n-1)+Fib(n-2);			
		}
		return fib[n];//返回结果 
	}
}

int main(){
	Fib(50);
	for(int i=0;i<50;i++){
		cout<<i<<setw(15)<<fib[i]<<endl;
	}
	return 0;
} 

参考书籍：《算法笔记》