RVEA多目标优化

for Many-objective Optimization)

目标函数

$$\underset{X}{\min }f(X)=(f_1(X),f_2(X),...,f_M(X))$$

预备知识

参考向量个数 $N=C_{H+M-1}^{M-1}$， $H$ 为边长分成的份数， $M$是目标的个数

from pymoo.algorithms.moo.rvea import RVEA
from pymoo.optimize import minimize
from pymoo.problems import get_problem
from pymoo.util.ref_dirs import get_reference_directions
from pymoo.visualization.scatter import Scatter

problem = get_problem("dtlz1", n_obj=3)

ref_dirs = get_reference_directions("das-dennis", 3, n_partitions=12)

algorithm = RVEA(ref_dirs)

res = minimize(problem,
               algorithm,
               termination=('n_gen', 400),
               seed=1,
               verbose=False)

plot = Scatter()
plot.add(problem.pareto_front(ref_dirs), plot_type="surface", color="black", alpha=0.7)
plot.add(res.F, color="red")
plot.show(block=True)

此代码中$H=n\_partitions=12M=n\_obj=3$

故最终的参考向量个数$N=C_{12+3-1}^{3-1}=C_{14}^2=91$

每个参考向量需要单位化：$v_i=\frac{u_i}{||u_i||}$

参考向量的相似度$cos\theta =\frac{v_1\bullet v_2}{||v_1||||v_2||}$

参考向量引导选择

• 理想向量：$Z_t^{min}=(Z_{t,1}^{min},Z_{t,2}^{min},...,Z_{t,m}^{min})$代表每个目标函数的最小值组成的向量

• 目标向量平移：因为参考向量是以坐标系原点为中心的，因此需要将目标函数都平移到坐标系原点：${\text{f}}_{t,i}^{\prime }={\text{f}}_{t,i}-Z_t^{min}$，${\text{f}}_{t,i}$表示第$t$次迭代中第$i$个个体的目标函数向量

• 种群划分：种群里面的每个个体按照到参考向量的最小夹角，与离得最近的目标向量归为一个集合体【与目标向量的余弦值最大】
  $$\begin{array}{rl}cos{\theta }_{t,i,j}& =\frac{{\text{f}}_{t,i}^{\prime }\bullet v_{t,j}}{||{\text{f}}_{t,i}^{\prime }||}\\ {\bar{P}}_{t,k}& =\{I_{t,i}|k=\underset{i\in \{1,2,...,N\}}{\mathrm{argmax}}cos{\theta }_{t,i,j}\}\end{array}$$

• 角度惩罚距离
  $$\begin{array}{rl}{d}_{t,i,j}& =(1+P({\theta }_{t,i,j}))\bullet ||{\text{f}}_{t,i}^{\prime }||\\ P({\theta }_{t,i,j})& =M.(\frac{t}{t_{max}}{)}^{\alpha }.\frac{{\theta }_{t,i,j}}{{\gamma }_{v_{t,j}}}\\ {\gamma }_{v_{t,j}}& =\underset{i\in \{1,2,...,N\},i\ne j}{\min }<v_{t,i},v_{t,j}>\text{最小角}\end{array}$$

更新参考向量

$$v_{t+1,i}=\frac{v_{0,i}\circ (Z_{t+1}^{max}-Z_{t+1}^{min})}{||v_{0,i}\circ (Z_{t+1}^{max}-Z_{t+1}^{min})||}$$

流程

整体框架

参考向量引导选择

参考向量自适应

fr通常设置为$0.2$