怎样解题—开启我们解决问题的智慧之门，数学高分不是梦

学习数学为什么要学会怎样解题？

我国颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》明确提出，数学课程的目标之一是提高数学的提出、分析和解决问题的能力；当今数学强国美国在《美国学校数学教育的原则与标准》中也把数学问题解决作为各年级数学课程的重要组成部分；国际数学管理委员会把解题能力列为十项基本技能的首位。数学大师单墫教授也曾这样肯定的说：“学数学的目的，不是别的，就是为了学会解题”。而另一位数学大师G·波利亚也认为：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练”。

数学书上虽然有不少公式、法则、定义、定理，但这些都不需要死记硬背，而是要通过解题逐步地理解、掌握，只有通过解题才能更多、更好地掌握数学的内容、意义和方法。这里的“解题”不同于“题海战术”，而是去解思路合理、见解独到和有发现创造的题。

怎样进行正确的思维？

虽然本文讨论的数学中发现和发明的方法和规律，但是对于其他任何领域中怎样进行正确思维都有明显的指导作用。生活的过程其实也是解题的过程。

当我们试图领会书中或者课堂中老师给出的题目解答时，是否想过：“这个解答看起来是可行的，似乎是正确的，但怎样才能想到这样一个解答呢？我自己如何才能想到或者发现这种方法呢？”我们不仅要尽力去理解这道或者那道问题的解答，而且要去理解这个解答的动机和步骤，并尽力向别人解释这些动机和步骤。

解题的思维过程

由已知想性质，由结论想方法。

一、理解题目

解题之前我们必须理解题目，仔细审题。没有经过仔细审题的解题毫无意义。问问自己：未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件是否充分？或者多余？或者矛盾？你有时候可以画一张图，引入适当的符合来帮助你更好地理解题目。

二、拟定方案

在拟定方案之前，你需要找出已知数据和未知量之间的联系。如果实在找不到直接的联系，试着去考虑辅助题目，试着回想一下你有没有见过一道同样或者相似的题目以一种稍有不同的形式出现。有没有一道与它有关的题目？有没有一条可能有用的定理？观察未知量!尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目。有一道题和你的题目有关而且以前解过，你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能够应用它，是否应该引入某个辅助元素？你能以不同的方式重新叙述这道题目吗？如果你不能解所提的题目，先尝试去解某道有关的题目。你能否想到一道更容易着手的相关题目?一道更为普遍化的题目?一道得更为特殊化的题目?一道类似的题目?你能解出这道题目的一部分吗?只保留条件的一部分，而丢掉其他部分，那么未知量可以确定到什么程度，它能怎样变化?你能从已知数据中得出一些有用的东西吗?你能想到其他合适的已知数据来确定该未知量吗?你能改变未知量或已知数据，或者有必要的话，把两者都改变，从而使新的未知量和新的已知数据彼此更接近吗?你用到所有的已知数据了吗?你用到全部的条件了吗?你把题目中所有关键的概念都考虑到了吗?

三、执行方案

执行你的解题方案，检查每一个步骤。你能清除的看出这个步骤是正确的吗?你能否证明它是正确的？

四、回顾

检查已经得到的解答，你能检验这个结果吗？你能检验这个论证吗？你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出来吗？你能在别的题目中利用这个结果或这种方法吗？

解题案例

已知数据是什么？

圆锥形容器高10m、上底半径4m，水面高8m；水的密度1000kg/立方米，重力加速度9.8m/s*s。

未知量是什么？

将容器中的水全部从容器顶部抽出所做的功。

这是什么意思，你能用别的方式来表述吗？

克服重力抽容器中水的力和该力在力的方向上通过位移的乘积。即

这时候可以画一张图，引入适当的符合来帮助我们更好地理解题目。如图：

对了，现在A(x)是一个函数吗？

是的，A(x)是在x处的水平截面面积，它随水平截面半径r而变化。

那么，我们自然而然的引入中间变量r。现在，想想r跟x之间的关系，我们这一步的目的是为了找到A(x)与x的函数关系。

我们发现，随着x离坐标原点越远，即x越大，水平截面半径r越小。

那么这里又有一个联系了，联系是什么呢？

当然，是相似三角形。回到已知数据，圆锥形容器高10m、上底半径4m。

由相似三角形可知：

r/(10-x) = 4/10

即r=2*(10-x)/5

我们现在有了：

好了，现在我们把A(x)的表达式以及已知量带入W得到：

后记

单墫教授曾说：“数学尖子就是解题能力强的同学，他们无非就是多做了一些题，掌握了一些解题方法，只要努力去做题，你也能成为班上的数学尖子”，而想要成为数学家并且有重大的数学的发现，更要重视平时的解题，因为平时的解题和数学发现之间，只有难易程度上的差别，在本质上是完全一样的。

对于数学教师，如果他把分配给他的时间都用来让学生操练一些常规运算，那么他就会扼杀他们的兴趣阻碍他们的智力发展，从而错失他的良机。相反地，如果他用和学生的知识相称的题目来激起他们的好奇心，并用一些激励性的问题去帮助他们解答题目，那么他就能培养学生对独立思考的兴趣，并教给他们某些方法。

同步自头条号：航小北爱解题