风控模型指标PSI详细理解

1.模型稳定性

在风控模型领域，PSI(Population Stability Index)是个常见的指标，用来描述模型/特征的稳定性。因为在金融领域，稳定是个特别重要的要求，模型/特征的更新频率，比起搜广推这种业务场景来也慢很多很多。像风控模型这种，更新频率至少是按季度起算，按年算也非常常见。因此，模型上线前后的稳定性就是个特别重要的指标。

我们在建模时，模型/特征的稳定性一般可以这么衡量：
模型或特征稳定性 == 历史样本分布与未来样本分布的偏差大小。

如果历史样本分布与未来样本分布偏差小，我们就可以认为模型的稳定性较好没有比较大的偏差，反制亦然。

当然在实际情况中，未来样本的分布，总是在不断变化的。互联网各种场景中，用户的变化都非常快。举个很实际的例子，大部分做贷款业务的互金公司，包括传统的银行，在20年用户都发生了重大变化，大家的逾期率普遍都提升了很多，原因大家也都清楚，就是因为疫情的黑天鹅事件。

2.PSI的计算方法

训练模型的时候，我们一般可以把训练数据作为历史样本(actual)，验证数据作为未来样本(expected)，那么PSI的计算公式如下：
$$PSI=\sum _{i=1}^n(A_i-E_i)\ast ln\frac{A_i}{E_i}$$

参考文献1种提到PSI值可以这样理解：
PSI = SUM( (实际占比 - 预期占比）* ln(实际占比 / 预期占比) )

这么理解就更为直观，是一种加深理解的好方法。

3.KL散度(相对熵)

说到PSI，一般都会提到KL散度，因为这两长得就很像，各种藕断丝连的关系。
KL散度(Kullback-Leibler divergence，简称KLD)，在讯息系统中称为相对熵（relative entropy），在连续时间序列中称为随机性（randomness），在统计模型推断中称为讯息增益（information gain）。也称讯息散度（information divergence）。

KL散度是两个几率分布P和Q差别的非对称性的度量。 KL散度是用来度量使用基于Q的分布来编码服从P的分布的样本所需的额外的平均比特数。典型情况下，P表示数据的真实分布，Q表示数据的理论分布、估计的模型分布、或P的近似分布。(参考文献2)

$$D_{KL}(P||Q)=-\sum p_{i}ln\frac{q_i}{p_i}$$

也可以等价于
$$D_{KL}(P||Q)=\sum p_{i}ln\frac{p_i}{q_i}$$

如果是连续随机变量，概率分布P和Q可按积分方式定义为
$$D_{KL}(P||Q)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x)ln\frac{p(x)}{q(x)}d(x)$$

可以对KL散度进行简单进行推导
随机变量X的熵可以表示为：
$$H(X)=-\sum _{i}p(x_i)logp(x_i)$$
而对于两个随机变量P, Q，概率分布分别为p(x), q(x)，则p与q的交叉熵定义为：
$$H(p,q)=\sum p(x)log\frac{1}{q(x)}=-\sum p(x)logq(x)$$

在信息论中，交叉熵可认为是对预测分布q(x)用真实分布p(x)来进行编码时所需要的信息量大小。

因此，KL散度(相对熵)为:
$$\begin{array}{rl}{D}_{KL}(P||Q)& =H(p,q)-H(p)\\ & =-\sum p(x)logq(x)-(-\sum p(x)logp(x))\\ & =\sum p(x)log\frac{p(x)}{q(x)}\end{array}$$

注意KL散度并不是一个真正的度量或者距离，因为它不具有对称性
$$D_{KL}(P||Q)\ne D_{KL}(Q||P)$$

4.PSI与散度的关系

我们再来看PSI的公式

$$PSI=\sum _{i=1}^n(A_i-E_i)\ast ln\frac{A_i}{E_i}$$

拆开一下
$$PSI=\sum _{i=1}^n{A}_i\ast ln\frac{A_i}{E_i}+E_i\ast ln\frac{E_i}{A_i}$$

所以拆开一下，很容易看出来，PSI其实是将A(actual)与E(expected)的KL散度做了一个对称化操作，将两个KL散度进行了相加。

$$PSI=D_{KL}(A||E)+D_{KL}(E||A)$$

5.代码实现

上头已经解释了很长时间的理论，下面我们看看具体代码如何实现。

import math

def genData():
    ages = ['<18', '[18,25)', '[25,30)', '[30,40)', '[40,50)', '>50']
    train_all = [190, 370, 550, 140, 160, 130]
    train_target = [90, 70, 50, 40, 60, 80]
    train_target_num = sum(train_target)
    ai_list = [round(ele / train_target_num, 4) for ele in train_target]
    print(ai_list)

    predict_all = [1912, 3705, 5507, 1408, 1603, 1311]
    predict_target = [800, 827, 548, 446, 660, 846]
    predict_target_num = sum(predict_target)
    ei_list = [round(ele / predict_target_num, 4) for ele in predict_target]
    print(ei_list)

    psi_list = [round((ai - ei) * math.log(ai / ei), 6) for ai, ei in zip(ai_list, ei_list)]
    print(psi_list)
    print(sum(psi_list))


genData()

上面的代码，我们模拟一个场景：
将用户的年龄段分为六段，train_target， predict_target分别为响应人群，最后计算PSI值。

最后代码输出

[0.2308, 0.1795, 0.1282, 0.1026, 0.1538, 0.2051]
[0.1938, 0.2004, 0.1328, 0.1081, 0.1599, 0.205]
[0.006465, 0.002302, 0.000162, 0.000287, 0.000237, 0.0]
0.009453000000000001

一般如果PSI值<0.1，我们认为模型/特征稳定性很好，变化不大，可以使用。
如果PSI值>0.25，则认为模型/特征稳定性不行，需要进行更新。

参考文献

1.https://zhuanlan.zhihu.com/p/79682292
2.https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E5%AF%B9%E7%86%B5
3.https://hsinjhao.github.io/2019/05/22/KL-DivergenceIntroduction/