《计算机视觉中的多视图几何》笔记（一）有限射影摄像机

目录

前言

1.二维射影几何与变换

1.1数学基础

1.2射影变换

2.有限射影摄像机

2.1有限摄像机模型

 2.2射影摄像机的几何含义

2.3射影摄像机对点的作用

2.3.1点对射线的反向投影

2.3.2点的深度

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前言

学习资料来源为《计算机视觉中的多视图几何（原书第二版）》，本节主要学习基本射影几何和射影摄像机的几何知识

1.二维射影几何与变换

1.1数学基础

1.平面几何与代数的关系：向量就是点，对称矩阵就是二次曲线

2.----n维标准欧式几何空间

----射影空间，在二维标准欧式几何的基础上拓展了理想点集(无穷远点），有了相异直线相交的概念

3.齐次向量：两个只相差一个全局缩放因子的向量

齐次坐标不与中任何有限点对应（即理想点）

4.根据对偶定理，可以互换点和直线的作用

1.2射影变换

几何概念的定义： 

射影映射（保线变换，射影变换或单应）是把的点（即齐次三维向量）映射到的点的一种可逆映射，它把直线映射到直线，更精确地说：

射影映射是到它自身的一种满足下列条件的可逆映射h：三点，，共线当且仅当，，也共线

 代数定义：

一个平面的射影变换是关于三维齐次向量的一种线性变换，并可以用一个非奇异3*3矩阵表示为

或更简单地表示为

 中心投影：把一张平面的点或直线通过固定公共点（投影中心）映射到另一张平面

透视映射：中心投影两张平面建立的坐标系都为直角坐标系。

2.有限射影摄像机

2.1有限摄像机模型

基本针孔模型如下图所示：

针孔摄像机几何

 考虑空间点到一张平面上的中心投影。令投影中心位于一个欧式坐标系的原点，投影中心C是摄像机中心，也称为光心，图中摄像机中心位于坐标原点。图像平面或聚焦平面.摄像机到图像平面的垂线是摄像机的主轴或主射线，主轴与图像平面的交点P是主点。过摄像机中心且平行于图像平面的平面是摄像机的主平面。

摄像机坐标系的与图像平面的的关系由相似三角形写成齐次为：

其中，是考虑主点偏置的主点坐标，K为摄像机标定矩阵。

对于CCD相机，图像坐标以像素来测量，则需要在每个方向上引入不同的尺度因子。若在x和y方向上图像坐标单位距离的像素数分别是,那么由K还要左乘附加因子，得到CCD摄像机标定矩阵的一般形式：

摄像机坐标系与世界坐标系的关系由旋转平移表示为：

其中R表示摄像机坐标系方向的3*3旋转矩阵，表示摄像机中心在世界坐标系的坐标。

则图像坐标系与世界坐标系的关系为：

其中P为摄像机矩阵，，通常不显式地标出摄像机中心。K中的参数称为摄像机的内参数或摄像机的内部校准，R和中的参数称为外参数或外部校准，与摄像机在世界坐标系中的方位和位置有关。

事实上，P左边的3*3非奇异子矩阵M=KR可以看作是RQ分解，因此P可以写成如下形式： 

其中是P的最后一列。

 2.2射影摄像机的几何含义

1.摄像机中心

摄像机中心C是P的一维右零空间，即PC=0.

对于有限摄像机（M非奇异）:

对于无穷远摄像机（M奇异）：

其中d是M的三维零向量，即Md=0.

2.列向量

射影摄像机的列是3维向量，几何含义是特殊的图像点。对于i=1,...,3，列向量分别对应于X,Y,Z轴在图像上的消影点，即这些点是轴方向的图像。列是坐标原点的图像。

射影矩阵的列定义的图像点

 3.行向量

射影摄像机的行是4维向量，在几何上可解释成特殊的世界平面。经证明，摄像机的主平面是P的最后一行，依赖于图像的x轴和y轴（与图像坐标系的选择有关）

射影矩阵的行定义的三张平面中的两张

 4.主点

事实上主点由下式计算：

 其中是M的第三行。

 5.主轴向量

是在主轴方向上指向摄像机前方的向量

2.3射影摄像机对点的作用

2.3.1点对射线的反向投影

根据映射x=PX,可以把空间中一个点X投影到一个图像点上，而给定一个图像点x，需要确定空间中哪些点被映射到该点，这些点组成过摄像机中心的一条空间射线。射线上有两个点已知，它们是摄像机中心和点,其中是的伪逆，.由这两点的连线可以表示这条射线:

对于有限摄像机，由图像点x反向投影交无穷远平面的点作为第二个点可以导出另一种形式：

2.3.2点的深度

考虑摄像机主平面前后一点离主平面的距离。令是一个3D点，P是有限摄像机的摄像机矩阵，设，则摄像机主平面前方的点X的深度:

点的深度