离散数学复习：特殊关系
特殊关系
1.等价关系
1.1 等价关系定义
1.1.1 定义
设R是非空集合A上的关系，如果R是自反的，对称的，传递的，则称R为A上的等价关系。
1.1.2 同余关系
设n为正整数，定义整数集合Z上的以n为模的同余关系 R = { < x , y > ∣ n ∣ ( x − y ) } R=\{
1.2 等价类
1.2.1 等价类的定义
定义：设R是非空集合A上的等价关系，对任意 x ∈ A x\in A x∈A，称集合 [ x ] R = { y ∣ y ∈ A , < x , y > ∈ R } [x]_R=\{y|y\in A,
1.2.2 等价类的性质
- 等价类是非空的
- 有些等价类是相同的，有些是不同的
- 所有等价类中的元素汇总为集合的所有元素
定理：
设R是非空集合A上的等价类，则：
- 对任意 x ∈ A x\in A x∈A，KaTeX parse error: Undefined control sequence: \O at position 11: [x]_R\neq \̲O̲
- 对任意 x , y ∈ A x,y\in A x,y∈A，如果 y ∈ [ x ] R y\in [x]_R y∈[x]R，则有 [ x ] R = [ y ] R [x]_R=[y]_R [x]R=[y]R，否则KaTeX parse error: Undefined control sequence: \O at position 17: …x]_R\cap [y]_R=\̲O̲
- ∪ x ∈ A [ x ] R = A \cup_{x\in A}[x]_R=A ∪x∈A[x]R=A
1.3 商集
1.3.1 定义
定义：设R是非空集合A上的等价关系，由R确定的一切等价类的集合，称为集合A上的商集，记为A/R，即 A / R = { [ x ] R ∣ x ∈ A } A/R=\{[x]_R|x\in A\} A/R={[x]R∣x∈A}.
1.3.2 等价类的求法
2. 集合的划分
在等价关系中我们已经发现，同一个等价类中的元素具有相同的属性，因而可将集合中的元素分成不同的类别，对应于集合的划分。
2.1 集合的划分的定义
定理：
设R是非空集合A上的一个等价关系，则A对R的商集A/R是A的一个划分，称为由R导出的等价划分。
同一个集合有多种不同的划分，不同的等价关系导出不同的划分。
2.2 等价关系导出
给定集合A的一个划分 π = { S 1 , S 2 , . . . , S m } \pi = \{S_1,S_2,...,S_m\} π={S1,S2,...,Sm}，则由该划分确定的关系 R = ( S 1 × S 2 ) ∪ ( S 2 × S 2 ) ∪ … … ∪ ( S m × S m ) R=(S_1\times S_2)\cup(S_2\times S_2)\cup……\cup(S_m\times S_m) R=(S1×S2)∪(S2×S2)∪……∪(Sm×Sm)是A上的等价关系。我们称该等价关系为由划分 π \pi π所导出的等价关系。
3. 偏序关系
3.1 偏序关系的定义
定义：设R是非空集合A上的关系，如果R是自反的、反对称的、传递的，则称R为A上的偏序关系(partial order relation), 记为" ≤ \leq ≤"，读作“小于等于”，并将“ < a , b > ∈ ≤ < a, b>\in \leq <a,b>∈≤"记为a≤b。序偶 < A ， ≤ > < A，\leq> <A，≤>称为偏序集(partial order set)。
3.2 可比与覆盖
定义：
设R是非空集合 A A A上的偏序关系， ∀ x , y ∈ A \forall x,y\in A ∀x,y∈A，
- 如果 x ≤ y x\leq y x≤y或者 y ≤ x y\leq x y≤x，则称x与y可比
- 如果 x ≤ y x\leq y x≤y且不存在 z ∈ A z\in A z∈A使得 x ≤ z ≤ y x\leq z\leq y x≤z≤y，则称** y y y覆盖 x x x**
3.3 字典排序
3.4 哈斯图
在偏序集的关系图中，许多有向边可以不用显示出来。例如，偏序关系满足自反性，所以每个结点都有环，因此可以不必显示这些环；又如，偏序关系满足传递性，我们不必显示由于传递性而必须出现的边；另外，由于其反对称的特性，我们可以规定边的方向，从而省去箭头。按照以上方法对关系图进行简化而得到的图形叫做哈斯图，哈斯图对于判断元素之间的先后顺序以及确定特殊元素非常方便。
3.4.1 定义
设R是非空集合A上的偏序关系，使用下面的方法对R的关系图进行简化：
- 取消每个结点的自环（因自反性）
- 取消由于传递性出现的边，即若 x → y , y → z x\rightarrow y,y\rightarrow z x→y,y→z，则去掉 x → z x\rightarrow z x→z这条边（因传递性）
- 重新排列每条边，使得箭头的方向全部向上，然后去掉这些箭头（因反对称性）
以上的步骤可以得到一个包含足够偏序信息的图，这个图称为偏序关系R的哈斯图（Hasse diagram）。
3.4.2 特殊元素
3.4.2.1 最大元和最小元
定义：
设 < A , ≤ >
- 对任意 x ∈ B x\in B x∈B，都有 x ≤ b x\leq b x≤b，则称b为B的最大元
- 对任意 x ∈ B x\in B x∈B，都有 b ≤ x b\leq x b≤x，则称b为B的最小元
3.4.2.2 极大元和极小元
定义：
设 < A , ≤ >
- 对任意 x ∈ B x\in B x∈B，都有 b ≤ x ⇒ x = b b\leq x\Rightarrow x=b b≤x⇒x=b，则称b为B的极大元
- 对任意 x ∈ B x\in B x∈B，都有 x ≤ b ⇒ x = b x\leq b\Rightarrow x=b x≤b⇒x=b，则称b为B的极小元
4.3.2.3 上界和上确界
定义：设 < A , ≤ >
- 对任意 x ∈ B x\in B x∈B，满足 x ≤ a x\leq a x≤a，则称a为B的上界
- 若元素 a ′ ∈ A a'\in A a′∈A是B的上界，元素 a ∈ A a\in A a∈A是B的任何一个上界，均有 a ′ ≤ a a'\leq a a′≤a，则称 a ′ a' a′为B的最小上界或上确界
4.3.2.4 下界和下确界
定义：设 < A , ≤ >
- 对任意 x ∈ B x\in B x∈B，满足 a ≤ x a\leq x a≤x，则称a为B的下界
- 若元素 a ′ ∈ A a'\in A a′∈A是B的上界，元素 a ∈ A a\in A a∈A是B的任何一个下界，均有 a ≤ a ′ a\leq a' a≤a′，则称 a ′ a' a′为B的最小下界或下确界
4. 其他次序关系
4.1 拟序关系
设R是非空集合A上的关系，如果R是反自反的和传递的，则称R为A上的拟序关系(quasi-order relation)，记为“< “,读作"小于”，并将“ < a , b >
如果满足反自反和传递性，那么一定满足反对称性，证明如下：
拟序关系 VS 偏序关系：
- R是A上的偏序关系，则 R − I A R-I_A R−IA是 A A A上的拟序关系
- S是A上的拟序关系，则 S ∪ I A S\cup I_A S∪IA是A上的偏序关系
4.2 全序关系
定义：设 < A , ≤ >
4.3 良序关系
定义：设 < A , ≤ >
4.4 总结
