[SHOI2008]循环的债务 题解

题目

转换问题：所有人把钱放在桌上，每个人拿走自己所需的钱。

• 每个人并不需要重复的把相同钞票放在桌子上再拿回来，因此对于第 $i$ 种钞票，假设 Alice 初始有 $x$ 张，结束有 $x^{\prime }$ 张，Alice 只需拿或者放 $|x^{\prime }-x|$ 张。

• 对于第 $i$ 钞票，人与人之间的交换次数等于拿放次数和的一半，比如 Alice 放 $x$ 张，Bob 拿 $x$ 张，被视为交换 $x$ 张。

• 钱的总和不会变。

问题已经相当简单了，考虑搜索：前 $i$ 种钞票，三个人各拿了 $A,B,C$ 元：

int dfs(int i, int A, int B, int C)
{
   if(A > sa or B > sb or C > sc) return 1e9;
   // i = 6 时，A <= sa，B <= sb，C <= sc 而 A+B+C = sa+sb+sc 说明 A=sa，B=sb，C=sc，即最终状态
   if(i == 6) return 0;
   
   int res = 1e9;
   // 对于第 i 种钞票，A 拿走 j 张，B 拿走 k 张，C 拿走剩下的
   for(int j=0; j <= a[i]+b[i]+c[i]; j++)
   	for(int k=0; j + k <= a[i]+b[i]+c[i]; k++)
   	{
   		res = min(res, dfs(i+1, A+j*w[i], B+k*w[i], C+(a[i]+b[i]+c[i]-j-k)*w[i]) + abs(j-a[i])+abs(k-b[i])+abs(a[i]+b[i]-j-k) );
   	}
   return res;
}

int main()
{
   cin >> x1 >> x2 >> x3;
   
   for(int i=0; i<6; i++) cin >> a[i], sa += a[i] * w[i];
   for(int i=0; i<6; i++) cin >> b[i], sb += b[i] * w[i];
   for(int i=0; i<6; i++) cin >> c[i], sc += c[i] * w[i];
   
   sa = sa - x1 + x3, sb = sb - x2 + x1, sc = sc - x3 + x2;
   
   int ans = dfs(0, 0, 0, 0);
   
   if(ans < 1e9) cout << ans / 2;
   else cout << "impossible"; 
}

根据钱的总和不变，当 $A,B$ 固定时，$C$ 也是固定的，因此状态数至多为 $6\times 1000\times 1000$ ，考虑记忆化搜索。

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