算法提高-图论- 负环

负环

本博客主要介绍spfa求负环
一般用第二种方法
第一种方法如果每个点入队n次，每次入队也要遍历n次，那么时间复杂度就是n²
第二种方法时间复杂度是n，只要发现最短路边数>=n就说明有环了

AcWing 904. 虫洞

一篇很好的博客，介绍了求负环的常用方法和原理

#include 
#include 

const int N = 510, M =2 * 2500 + 200 + 10;

using namespace std;

int dist[N];
int q[N], cnt[N];
bool st[N];
int h[N], ne[M], e[M], w[M], idx;

int T, n, m1, m2;

void add (int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++ ;
}

bool spfa()
{
    //memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//0x3f也可以ac啊，是因为有负环因为要判断的是负环，
                                      //如果存在负环，那么肯定存在一个点到虚拟源点的距离是负无穷，
                                      //相比于负无穷，0和正无穷都是 一个很大的值，因此这个初始化可以用来更新
    memset(dist, 0, sizeof dist);//这里dist初始化不是0x3f而是0
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    memset(st, 0, sizeof st);
    //虚拟源点求负环
    int hh = 0, tt = 0;
    for (int i = 1;i <= n; i ++ )
    {
        q[tt ++ ] = i;
        st[i] = true;
    }
    
    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;
        
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];               //现在农夫约翰希望能够从农场中的某片田地出发，经过一些路径和虫洞回到过去，并在他的出发时刻之前赶到他的出发地。
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])//这里是求负环，负环对应最短路，因为走负环可以让代价减少所有求的是最短路
            {                            //而正环改变一下符号就行，正环对应最长路，因为走正环可以让代价增加
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n) return true;
                if (st[j] == false) 
                {
                    q[tt ++ ] = j;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[j] = true;
                }
                
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    cin >> T;
    while (T -- )
    {
        memset(h, -1, sizeof h);
        idx = 0;
        
        cin >> n >> m1 >> m2;
        for (int i = 0; i < m1; i ++ )
        {
            int a, b ,c;
            cin >> a >> b >> c;
            add(a, b, c), add(b, a, c);
        }
        
        for (int i = 0; i < m2; i ++ )
        {
            int a, b, c;
            cin >> a >> b >> c;
            add(a, b, -c);//虫洞是单项的而且是负权值
        }
        
        if (spfa()) cout << "YES" << endl;
        else cout << "NO" << endl;
    }
    return 0;
}

AcWing 361. 观光奶牛

这是一个01规划 + 图论问题

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1010, M = 5000 + 10;

int h[N], wt[M], ne[M], e[M], idx;
int q[N], cnt[N];
int  wf[N];
double dist[N];//dist要变成double！！！
bool st[N];

int n, m;

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, wt[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool check(double mid)
{
    memset(dist, 0, sizeof dist);//这里求的是正环，因此求的是最长路，所以dist初始化为0，这和虫洞那题不一样
    memset(st, 0, sizeof st);//多次check，所以st要初始化
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    
    int hh = 0, tt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        q[tt ++ ] = i;
        st[i] = true;
    }
    
    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;
        
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] < dist[t] + wf[t] - mid * wt[i])//这个是由最初的公式变换来的
            {
                dist[j] = dist[t] + wf[t] - mid * wt[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n) return true;//如果mid带入能找到正环，继续找下一个正环，知道找不到正环的时候 此时mid的值才最大
                
                if (st[j] == false)
                {
                    q[tt ++ ] = j;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    
    return false;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> wf[i];
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }
    
    double l = 0, r = 1e6;//r是根据我们要的结果在一个什么范围计算出来的(1000 - 1) * 1000,所有干脆取1e6了
    while (r - l > 1e-4)//浮点数二分 + 根据经验值多判断两位的精度
    {
        double mid = (l + r) / 2;// double mid = l + r >> 1 double不能这么写
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }
    
    printf("%.2lf", r);//printf("%.2lf", l)也行，因为while退出的时候l == r
}

AcWing 1165. 单词环

#include 
#include 

const int N = 26 * 26 + 10, M = 1e5 + 10;
int h[N], ne[M], w[M], e[M], idx;
bool st[N];
double dist[N];
int q[N], cnt[N];
int n;

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

// bool check(double mid)
// {
//     memset(st, 0, sizeof st);
//     memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    
//     int hh = 0, tt = 0;
//     for (int i = 0; i < 26 * 26; i ++ )//超级源点，把每个点都入队
//     {
//         q[tt ++] = i;
//         st[i] = true;
//     }
//     int count = 0;
//     while (hh != tt)
//     {
//         int t = q[hh ++ ];
//         if (hh == N) hh = 0;
//         st[t] = false;
//         for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
//         {
//             int j = e[i];
//             if(dist[j] < dist[t] + w[i] - mid)
//             {
//                 dist[j] = dist[t] + w[i] - mid;
//                 cnt[j] = cnt[t] + 1;
//                 if (++ count > 10000) return true;//trick
//                 if (cnt[j] >= N)
//                 if (st[j] == false)
//                 {
//                     q[tt ++ ] = j;
//                     if (tt == N) tt = 0;
//                     st[j] = true;
//                 }
//             }
//         }
//     }
//     return false;
// }

bool check(double mid)
{
    memset(st, 0, sizeof st);
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);

    int hh = 0, tt = 0;
    for (int i = 0; i < 676; i ++ )
    {
        q[tt ++ ] = i;
        st[i] = true;
    }

    int count = 0;
    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] < dist[t] + w[i] - mid)
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i] - mid;
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if ( ++ count > 10000) return true; // 经验上的trick
                if (cnt[j] >= N) return true;
                if (!st[j])
                {
                    q[tt ++ ] = j;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    return false;
}



// int main()
// {
//     char str[1010];
//     while (scanf("%d", &n), n)
//     {
//         memset(h, -1, sizeof h);
//         idx = 0;
//         for (int i = 0; i < n; i ++ )
//         {
//             scanf("%s", str);
//             int len = strlen(str);
//             if (len >= 2)
//             {
//                 int left = (str[0] - 'a') * 26 + str[1] - 'a';
//                 int right = (str[len - 2] - 'a') * 26 + str[len - 1] - 'a';
//                 add(left, right, len);
//             }
//         }

//         if (!check(0)) puts("No solution");
//         else
//         {
//             double l = 0, r = 1000;
//             while (r - l > 1e-4)
//             {
//                 double mid = (l + r) / 2;
//                 if (check(mid)) l = mid;
//                 else r = mid;
//             }

//             printf("%lf\n", r);
//         }
//     }

//     return 0;
// }



int main()
{
    char str[M];
    while(scanf("%d", &n), n)
    {
        idx = 0;//多组数据需要初始化
        memset(h, -1, sizeof h);
        for(int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            scanf("%s", &str);//把每个单词的前两个和后两个字符当作一个26进制的数字，这些数字就是一个节点
                              //这样不仅空间复杂度降低了，时间复杂度也降低了，我们通过一个点去遍历它的邻边的时候
                              //这个邻边的另一端一定是和当前节点一样的两个字符，就不用特判了
            int len = strlen(str);
            if (len >= 2)
            {
                int left = (str[0] - 'a') * 26 + (str[1] - 'a');
                int right = (str[len - 2] - 'a') * 26 + (str[len - 1] - 'a');
                add(left, right, len);
            }
        }
        
        if (check(0) == false) puts("No solution");
        else
        {
            double l = 0, r = 1e3;//求的是平均长度，因此二分的答案最多为1000
            while(r - l > 1e-4)//浮点数二分
            {
                double mid = (l + r) / 2; 
                if (check(mid)) l = mid;//都说错了，这是浮点数二分，不用管着么多xxxxmid满足了，那么答案肯定不取mid了，左边界更新为mid + 1；
                else r = mid;               
            }
            printf("%.2lf\n", r);
        }
    }
    return 0;
}