P2233 [HNOI2002]公交车路线

题目描述

在长沙城新建的环城公路上一共有 8 个公交站，分别为 A、B、C、D、E、F、G、H。公共汽车只能够在相邻的两个公交站之间运行，因此你从某一个公交站到另外一个公交站往往要换几次车，例如从公交站 A 到公交站 D，你就至少需要换 3 次车。

Tiger 的方向感极其糟糕，我们知道从公交站 A 到公交 E 只需要换 4 次车就可以到达，可是 tiger 却总共换了 n 次车，注意 tiger 一旦到达公交站 E，他不会愚蠢到再去换车。现在希望你计算一下 tiger 有多少种可能的乘车方案。

输入格式

仅有一个正整数 n，表示 tiger 从公交车站 A 到公交车站 E 共换了 n 次车。

输出格式

输出一个正整数表示方案数，由于方案数很大，请输出方案数除以 1000 后的余数。

输入输出样例

输入 #1复制

6

输出 #1复制

8

说明/提示

8 条路线分别是：

(A→B→C→D→C→D→E)，(A→B→C→B→C→D→E)，

(A→B→A→B→C→D→E)，(A→H→A→B→C→D→E)，

(A→H→G→F→G→F→E)，(A→H→G→H→G→F→E)，

(A→H→A→H→G→F→E)，(A→B→A→H→G→F→E)。

数据范围

4≤n≤10^7。

 first,通过dp或超强的找规律方法，得到递推式

f[i] = f[i] * 4 - f[i-1] * 2;

then,设矩阵 a b

                    c d

前五项 0 2 8 28 96

得到 2a+8b=8

2c+8d=28

8a+28b=28

8c+28d=96

解得矩阵为

0 1 

-2 4

then ,求其k>>=1项

欧克

#include
using namespace std;
//#pragma GCC optimize(2)
#define  endl '\n'
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
const int mod=1e3;
typedef long long ll;
ll ans=0,n1,m1;
ll t=0,s1=0,s2=0,s3=0,s4=0,max1=0,max2=0,w,min1=100000000,sum=0,n,m,i,j,k,v,l,r;

inline int read() {
	bool sym=0;
	int res=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))sym |=(ch =='-'),ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) res =(res<<3)+(res<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return sym ? -res : res;
}
void print(int x) {
	if(!x)return;
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int isPrime(int n) {
	float n_sqrt;
	if(n==1) return 0;
	if(n==2 || n==3) return 1;
	if(n%6!=1 && n%6!=5) return 0;
	n_sqrt=floor(sqrt((float)n));
	for(int i=5; i<=n_sqrt; i+=6) {
		if(n%(i)==0 | n%(i+2)==0) return 0;
	}
	return 1;

}
ll a[107]={0,0,2,8,28};
//矩阵快速幂
struct mm {
	ll m[107][108];
} as,ass;
mm operator *(const mm&a,const mm&b ) {
	mm c ;
	memset(c.m ,0,sizeof c.m );
	for(ll i=1; i<=n; i++) {
		for(ll j=1; j<=n; j++) {

			for(ll k=1; k<=n; k++) {
				c.m [i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;

			}
		}
	}

	return c;
}
mm qmm(mm a,ll k) {
	mm ans;
	memset(ans.m ,0,sizeof ans.m );
	for(ll i=1; i<=n; i++)
		ans.m [i][i]=1;
	while(k) {
		if(k&1)
			ans=ans*a;
		a=a*a;
		k>>=1;




	}

	return ans;


}

int main() {


	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
cin>>k;
k>>=1;
n=2;
as.m [1][1]=0;
as.m [1][2]=1;
as.m [2][1]=-2;
as.m [2][2]=4;
		ass=qmm(as,k);

	cout<