(“白话文”详解)蓝桥杯模拟 摆动序列

题目信息：
　　在网上看到了许多题解，但好多人好像没有明白奇、偶状态转移方程怎么推导出来了，这是一道比较好的动态规划的题目，如果你找到现在也没有搞懂状态转移方程的由来，那么恭喜你这篇文章是个突破，看完这篇题目你就可以懂了！！！
　　（为了更好的理解，看这道题目之前，你可以先做一道初级的摆动序列的问题：链接: 动态规划详解——(初级)摆动序列.）

问题描述
如果一个序列的奇数项都比前一项大，偶数项都比前一项小，则称为一个摆动序列。即 a[2i]a[2i]。
　　小明想知道，长度为 m，每个数都是 1 到 n 之间的正整数的摆动序列一共有多少个。

输入格式
输入一行包含两个整数 m，n。

输出格式
输出一个整数，表示答案。答案可能很大，请输出答案除以10000的余数。

样例输入
3 4

样例输出
14

样例说明
以下是符合要求的摆动序列：
　　2 1 2
　　2 1 3
　　2 1 4
　　3 1 2
　　3 1 3
　　3 1 4
　　3 2 3
　　3 2 4
　　4 1 2
　　4 1 3
　　4 1 4
　　4 2 3
　　4 2 4
　　4 3 4

评测用例规模与约定
对于 20% 的评测用例，1 <= n, m <= 5；
　　对于 50% 的评测用例，1 <= n, m <= 10；
　　对于 80% 的评测用例，1 <= n, m <= 100；
　　对于所有评测用例，1 <= n, m <= 1000。
　　

动态规划分析：

• 状态分析：在这道题目中，数字在奇、偶位置不同所符合的条件不同，简而言之：奇数位置的数字要比前一位元素大、偶数位置的数字要比前一位小；这造就了状态转移方程的不同

• 状态： dp[i][j]状态数组表示：长度为j ，即j位置上放 以i数字为**基准(基准一词非常重要)** 满足条件的序列 的数目 有多少个（这句话非常重要）

  • （eg:假设j为奇数 ，长度为j的序列，则在j位置 上放i数字 满足条件，则在j位置 上放数字i+1 也满足条件，因为数字i 都大于前面一位的数字了，数字i+1 也一定大于前面的数字，所以满足条件）
  • （同理，eg:假设j为偶数 ，长度为j的序列，则在j位置 上放i数字 满足条件，则在j位置 上放数字i-1 也满足条件，因为数字i 小于前面一位的数字了，数字i-1 也一定小于前面的数字，所以满足条件）

• 状态转移方程：

  • j位置为奇数： 当求dp[i][j]时，即长度为j，以i为基准其来源有两部分：dp[i+1][j](j位置放比i大的值)、dp[i-1][j-1](j位置放i，即j-1位要比i小)
    简而言之——长度为j，大于等于i的选择方案总数
  • j位置为偶数： 当求dp[i][j]时，即长度为j，以i为基准其来源有两部分：dp[i-1][j](j位置放比i小的值)、dp[i+1][j-1](j位置放i，即j-1位要比i大)
    简而言之——长度为j，小于等于i的选择方案总数

• 初始状态：i
  当j为1时，即序列长度为1，那么其一定是满足条件的序列，第一项是奇数项，dp[i][1]=n-i+1; 大于等于j的选择方案总数

• 输出：
  当m为奇数时，结合前面分析最后一位应当放最小值，即dp[1][m]
  当m为偶数时，结合前面分析最后一位应当放最最大值值，即dp[n][m]

AC代码（java）：

package 蓝桥杯模拟_摆动序列;
import java.util.*;

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		int m=sc.nextInt();
		int n=sc.nextInt();
		
		int[][] dp=new int[n+5][m+5];	//状态数组，长度为j，即j位置上放以i为基础满足条件的序列的数目有多少个
		
		for(int i=1;i<=n;i++) {//初始化
			dp[i][1]=n-i+1;		//1为奇数位置
		}
		
		for(int j=2;j<=m;j++) {
			if(j%2==0) {
				for(int i=1;i<=n;i++) {
					dp[i][j]=(dp[i+1][j-1]+dp[i-1][j])%10000;	//以所放数字i为基础，考虑满足条件的序列
				}
			}
			else {
				for(int i=n;i>=1;i--) {
					dp[i][j]=(dp[i+1][j]+dp[i-1][j-1])%10000;	//以所放数字i为基础，考虑满足条件的序列
				}
			}
		}
		
		//判断调价输出
		if(m%2==0) {
			System.out.println(dp[n][m]);
		}
		else {
			System.out.println(dp[1][m]);
		}
		
	}
}