[Luogu P3287] [BZOJ 3594] [SCOI2014]方伯伯的玉米田

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题目描述

方伯伯在自己的农田边散步，他突然发现田里的一排玉米非常的不美。这排玉米一共有$N$株，它们的高度参差不齐。方伯伯认为单调不下降序列很美，所以他决定先把一些玉米拔高，再把破坏美感的玉米拔除掉，使得剩下的玉米的高度构成一个单调不下降序列。方伯伯可以选择一个区间，把这个区间的玉米全部拔高$1$单位高度，他可以进行最多$K$次这样的操作。拔玉米则可以随意选择一个集合的玉米拔掉。问能最多剩多少株玉米，来构成一排美丽的玉米。

输入输出格式

输入格式：

第$1$行包含$2$个整数$n$，$K$，分别表示这排玉米的数目以及最多可进行多少次操作。第$2$行包含$n$个整数，第$i$个数表示这排玉米，从左到右第$i$株玉米的高度$a_i$。

输出格式：

输出$1$个整数，最多剩下的玉米数。

输入输出样例

输入样例#1：

3 1
2 1 3

输出样例#1：

3

说明

$1<N<10000$，$1<K\le 500$，$1\le a_i\le 5000$

解题分析

首先有个显然性质： 如果我们要拔高， 肯定是要拔一段后缀， 否则会对后面的玉米产生不利的影响。

那么就有个大暴力$DP$了：设$dp[i][j]$表示第$i$个被拔了$j$次， 得到的最长不下降子序列长度， 有：
$$dp[i][j]=max\{dp[k][p]\}+1,k<i,p\le j,h[k]+p\le h[i]+j$$
然后就有一步妙妙的转化：

我们是从前往后扫的， 因此$k<i$这个限制可以不管， 后面两个限制我们可以维护一个新的数组$f[i][j]$表示已经拔了$i$次， 最高高度为$j$的最长不下降子序列长度， 转移就变成了这样：
$$dp[i][j]=max\{f[k][p]\}+1,0\le k\le i,1\le p\le h[i]+j$$
这样就是一个规范的二维前缀最小值的形式了， 直接上二维$BIT$就好。

代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define ll long long
#define lbt(i) ((i) & (-i))
template <class T>
IN void in(T &x)
{
	x = 0; R char c = gc;
	for (; !isdigit(c); c = gc);
	for (;  isdigit(c); c = gc)
	x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
template <class T> IN T max(T a, T b) {return a > b ? a : b;}
template <class T> IN T min(T a, T b) {return a < b ? a : b;}
int n, k, up;
int tree[505][10050], h[5050];
IN int query(R int x, R int y)
{
	int ret = 0;
	for (; x; x -= lbt(x))
	for (R int i = y; i; i -= lbt(i))
	ret = max(ret, tree[x][i]);
	return ret;
}
IN void modify(R int x, R int y, R int val)
{
	for (; x <= k; x += lbt(x))
	for (R int i = y; i <= up; i += lbt(i))
	tree[x][i] = max(tree[x][i], val);
}
int main(void)
{
	int ans = 0, foo;
	in(n), in(k);
	for (R int i = 1; i <= n; ++i) in(h[i]), up = max(h[i], up);
	++k, up += k;
	for (R int i = 1; i <= n; ++i)
	for (R int j = k; j; --j)
	{
		foo = query(j, j + h[i]);
		ans = max(ans, foo + 1);
		modify(j, j + h[i], foo + 1);
	}
	printf("%d\n", ans);
}