离散数学知识点总结（4）：合取范式，析取范式

合取范式（ conjunctive normal form (CNF)）

任何命题公式，最终都能够化成 $(A_1\vee A_2)\wedge (A_3\vee A_4)$ 的形式，这种先 $\vee 析取$ 再 $\wedge 合取$ 的范式，被称为 “ 合取范式”。

析取范式（disjunctive normal form (DNF)）

任何命题公式，最终都能够化成 $(A_1\wedge A_2)\vee (A_3\wedge A_4)$ 的形式，这种先 $\wedge 合取$ 再 $\vee 析取$ 的范式，被称为 “析取范式”。

Examples

对于之前出现的一些公式，我们都可以将他们转化成 CNF 或者 DNF

• $A\oplus B\equiv (A\vee B)\wedge (￢A\vee ￢B)$
• $A\leftrightarrow B\equiv (A\to B)\wedge (B\to A)$
• $A\to B\equiv \neg A\vee B$
• $\neg \neg A\equiv A$

Example 转换为合取公式

$(\neg P\wedge (\neg Q\to R))\leftrightarrow S$

$\equiv ((\neg P\wedge (\neg Q\to R))\to S)\wedge (S\to (\neg P\wedge (\neg Q\to R)))$

$\equiv (\neg (\neg P\wedge (\neg Q\to R))\vee S)\wedge (\neg S\vee (\neg P\wedge (\neg Q\to R)))$

$\equiv (\neg (\neg P\wedge (\neg \neg Q\vee R))\vee S)\wedge (\neg S\vee (\neg P\wedge (\neg \neg Q\vee R)))$

$\equiv ((\neg \neg P\vee (\neg \neg \neg Q\wedge \neg R))\vee S)\wedge (\neg S\vee (\neg P\wedge (\neg \neg Q\vee R)))$

$\equiv ((P\vee (\neg Q\wedge \neg R))\vee S)\wedge (\neg S\vee (\neg P\wedge (Q\vee R)))$

$\equiv (((P\vee \neg Q)\wedge (P\vee \neg R))\vee S)\wedge ((\neg S\vee \neg P)\wedge (\neg S\vee (Q\vee R)))$

简化的合取和析取范式

• 简化方法：在一个 合取范式的 子句（clause）中，同一个逻辑 literal 只出现一次。
  
• 首先我们可以把第一个 clause 中的 $A\vee \neg A\equiv T$ 转化成 $\neg B\vee T\equiv T$
• 第三个式子中 $C\vee C\equiv C$
• 所以上面的式子可以化简为
  

标准形式（Canonical form）

因为对于析取范式和合取范式化简的式子来说，可以有很多种形式，长短和每个子句的内容可能都不同，因此，我们要规定一个标准来处理这种情况。

异或标准形式（xor normal form）

• 一种标准形式 (“异或标准形式”) 使用互斥或和连词，以积和形式表示函数
  
• 或者，将和式表示为集合
  

二元决策图 form （ROBDD）

• 二元决策图(bdd)给出了另一种规范形式
  
• $A\to B$ 的子句表示在图中为实线
• 对于上图，如果得到的结果（叶子节点）只有一个 $T$ 那就代表这个公式是 valid，如果只有一个 $f$ 就代表是 unsatisfiable 的

子句标准形式（clause form）

• 我们可以把合取公式表示的信息看做一个从句，由很多子句构成。

• 我们可以将这些连接的子句写成下面的形式：
  
  • 子句中的 $,$ 表示的是 $\vee$；子句间的 $,$ 表示的是 $\wedge$
    
    在这里的 $clause\{A\}$ 其本质上是 $clause\{A\vee \varnothing \}$ 这里 $A\vee \varnothing \equiv A\vee F\equiv A$
    
    这里的 $formula\{C\}$ 代表的是 $formula\{C\wedge \varnothing \}$，这里 $\varnothing$ 相当于 $T$