基础算法——龟速乘

题目描述

(64位整数乘法)求 a 乘 b 对 p 取模的值。

输入格式
第一行输入整数a,第二行输入整数b,第三行输入整数p。

输出格式
输出一个整数,表示 a*b mod p的值。

数据范围
1 ≤ a , b , p ≤ 1 0 18 1≤a,b,p≤10^{18} 1a,b,p1018

输入样例:

3
4
5

输出样例:

2

算法思想

二进制思想。如果直接计算 a × b a\times b a×b这会爆 long long ,所以采用类似于快速幂的思想把 b作为二进制形式进行处理,然后如果某位上为1就加上它 a × 2 n a\times2^n a×2n次方,并且每次计算后取模就可以了。

例如: b = 11 = ( 1011 ) 2 = 2 3 + 2 1 + 2 0 b=11=(1011)_2=2^3+2^1+2^0 b=11=(1011)2=23+21+20,那么 a × b = a × ( 2 3 + 2 1 + 2 0 ) = 8 a + 2 a + a a\times b=a\times(2^3+2^1+2^0)=8a +2a+a a×b=a×(23+21+20)=8a+2a+a

时间复杂度

将乘数 b b b的每个二进制位取出进行判断,时间复杂度为 l o g ( b ) log(b) log(b)

代码实现

#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

LL qadd(LL a, LL b, LL p)
{
    LL res = 0;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = (res + a) % p;
        a = (a + a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    LL a, b, p;
    
    cin >> a >> b >> p;
    
    cout << qadd(a, b, p) << endl;
    
    return 0;
}

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