欧拉函数

欧拉函数

欧拉函数的定义

欧拉函数（Euler’s totient function），求小于或者等于$n$的数中与$n$互质的数的个数，记为：$\phi (n)$。

欧拉函数的通式$\phi \left(n\right)=n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\dots \left(1-\frac{1}{p_n}\right)$，其中$p_1,p_2,\dots ,P_n$都是$n$的质因数。

比如：$\phi (1)=1$。

当$n$时质数的时候，显然有$\phi (n)=n-1$。

欧拉函数的一些性质

1. 欧拉定理：若$a,n$为正整数，$gcd(a,n)=1$，则$a^{\phi (n)}\Xi 1(modn)$。

2. 若$n$是质数，则$\phi (n)=n-1$。

   若$n$是合数，则$\phi (n)$自己算去吧!!!

3. 欧拉函数是积性函数：

   若$n,m$互质，则$\phi (n\times m)=\phi (n)\times \phi (m)$。

   当$n$为奇数时，有$\phi (2\times n)=\phi (n)$。

   若$n=p^k$且$P$是质数，则$\phi (n)=p^k-p^{k-1}$。

4. 除了$n=2$，$\phi (n)$都是偶数。

如何求欧拉函数值

在这里，我们先求一个数的欧拉函数值，这样我们可以直接根据定义质因数分解的同时求解。时间复杂度为$O(N)$。

int oula(int n){
	int res = n;
	for(int i = 2; i * i <= n; i++){//n的素因子定在sqrt(n)内 
		if(n % i == 0){
			res = res - res / i;//res = res - res / i是由n*(1-1/i)化来的，在这里不允许有小数，都是整数运算
			while(n % i == 0) n /= i;
		}
	}
	if(n > 1) res = res - res / n;
	return res;
}

那么对于多个数的欧拉函数值，我们是是否可以进行线性筛选呢？答案是可以的。

$\phi \left(n\right)=n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\dots \left(1-\frac{1}{p_n}\right)$，其中$p_1,p_2,\dots ,P_n$都是$n$的质因数。
例如：$\phi (12)=12\times (1-\frac{1}{2})\times (1-\frac{1}{3})=4$.
利用这个我们可以类似求素数的的筛法。先筛出N以内的所有素数，再以素数筛每个数的φ值。
比如求8以内所有数的φ值：设一个数组$phi[9]$,初始值为$phi[1]=1,phi[2]=2,\dots ,phi[8]=8$，然后从$2$开始循环，把$2$的倍数的$\phi$值都乘以$(1-\frac{1}{2})$；再是把$3$的倍数的$\phi$值都乘以$(1-\frac{1}{3})\dots$。（这里有点运用了素数的埃氏筛选的思想）。对于每一个素数都进行如此操作，就相当于任何一个$n$都进行了$\phi \left(n\right)=n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\left(1-\frac{1}{p_2}\right)\dots \left(1-\frac{1}{p_n}\right)$的运算。

const int MAXN = 2e5 + 10;
int oula[MAXN];
void Inou(){
	for(int i = 1;  i <= MAXN; i++){
		oula[i] = i;
	}
	for(int i = 2; i <= MAXN; i++){
		if(oula[i] == i){//素数在之前是不会被任何数筛的
			for(int j = i; j <= MAXN; j += i){
				oula[j] = oula[j] - oula[j] / i;
			}
		}
	}
}

如果以上内容有错误的地方，请在下面评论指出，谢谢了！！！