信号与系统复习笔记——拉普拉斯变换和Z变换
信号与系统复习笔记——拉普拉斯变换和Z变换
拉普拉斯变换
一个LTI系统对信号 e s t e^{st} est 的响应为：
y ( t ) = H ( s ) e s t y(t) = H(s) e^{st} y(t)=H(s)est
其中特征函数 H ( s ) H(s) H(s) 为：
H ( s ) = ∫ − ∞ + ∞ h ( t ) e − s t d t H(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t)e^{-st} dt H(s)=∫−∞+∞h(t)e−stdt
一个信号的拉普拉斯变换为：
X ( s ) = ∫ − ∞ + ∞ h ( t ) e − s t d t X(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t)e^{-st} dt X(s)=∫−∞+∞h(t)e−stdt
当 s = j ω s = j\omega s=jω 的时候，拉普拉斯变换退化为傅里叶变换。
复数 s s s 可以表示为 s = σ + j ω s = \sigma + j\omega s=σ+jω ，那么拉普拉斯变换可以表示为：
X ( σ + j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ [ x ( t ) e − σ t ] e − j ω t d t X(\sigma + j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} [x(t)e^{- \sigma t}] e^{- j\omega t} dt X(σ+jω)=∫−∞+∞[x(t)e−σt]e−jωtdt
这等于信号 x ( t ) e − σ t x(t)e^{- \sigma t} x(t)e−σt 的傅里叶变换，我们称 e − σ t e^{- \sigma t} e−σt 为拉普拉斯衰减因子。
注意到，一个信号的拉普拉斯变换并非对于所有的 s s s 都收敛，我们称能使拉普拉斯变换积分收敛的所有 s s s 的集合称为 收敛域 或是 ROC。
对于有理的拉普拉斯变换可以表示为：
X ( s ) = N ( s ) D ( s ) X(s) = \frac{N(s)}{D(s)} X(s)=D(s)N(s)
我们称 N ( s ) = 0 N(s) = 0 N(s)=0 的根称为 零点 而 D ( s ) = 0 D(s) = 0 D(s)=0 的根称为 极点 。在 s s s 平面内标注零点和极点称为零-极点图。
拉普拉斯变换的收敛域
两个不同的信号可能对应一个相同的拉普拉斯变换，但其收敛域却不相同。
性质一： X ( s ) X(s) X(s) 的收敛域在 s s s 平面内由平行于 j ω j\omega jω 轴的带状区域组成。
因为要满足 x ( t ) e − σ t x(t)e^{-\sigma t} x(t)e−σt 绝对可积，因此只和 σ \sigma σ 有关。
性质二： X ( s ) X(s) X(s) 的收敛域内不包含极点。
性质三： 若 x ( t ) x(t) x(t) 是时间有限且有界的信号，那么收敛域就是整个 s s s 平面。
性质四： 若 x ( t ) x(t) x(t) 是右边信号，并且 ℜ s = ω 0 \Re{s} = \omega_0 ℜs=ω0 这条线位于收敛域内，那么 ℜ s > ω 0 \Re{s} > \omega_0 ℜs>ω0 的全部 s s s 值都在收敛域内。
进一步，若点 s 0 s_0 s0 在收敛域内，那么点 s 0 s_0 s0 的 右半平面 收敛。
性质五： 若 x ( t ) x(t) x(t) 是左边信号，并且 ℜ s = ω 0 \Re{s} = \omega_0 ℜs=ω0 这条线位于收敛域内，那么 ℜ s < ω 0 \Re{s} < \omega_0 ℜs<ω0 的全部 s s s 值都在收敛域内。
进一步，若点 s 0 s_0 s0 在收敛域内，那么点 s 0 s_0 s0 的 左半平面 收敛。
性质六： 若 x ( t ) x(t) x(t) 是双边信号，并且存在收敛域，那么收敛域一定是一条带状区域。
因为收敛域内不存在极点，推出下面两个推论：
性质七： 若 x ( t ) x(t) x(t) 的拉普拉斯变换是有理的，那么他的收敛域总是被极点所界定或延伸到无限远处。另外，在收敛域内不包含任何的极点。
性质八： 若 x ( t ) x(t) x(t) 的拉普拉斯变换是有理的，那么若 x ( t ) x(t) x(t) 是右边信号，其收敛域在 s s s 平面上位于最右边极点的右边，若 x ( t ) x(t) x(t) 是左边信号，其收敛域在 s s s 平面上位于最左边极点的左边。
拉普拉斯逆变换
通过傅里叶的逆变换我们可以得到：
x ( t ) e − σ t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ X ( σ + j ω ) e j ω t d ω x(t)e^{-\sigma t} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(\sigma + j\omega) e^{j\omega t} d\omega x(t)e−σt=2π1∫−∞+∞X(σ+jω)ejωtdω
得到：
x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ X ( σ + j ω ) e ( σ + j ω ) t d ω x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(\sigma + j\omega) e^{(\sigma+j\omega) t} d\omega x(t)=2π1∫−∞+∞X(σ+jω)e(σ+jω)tdω
令 s = σ + j ω s = \sigma + j\omega s=σ+jω 则 ω = ( s − σ ) / j \omega = (s - \sigma) / j ω=(s−σ)/j 那么 d ω = 1 j d s d\omega = \frac{1}{j} ds dω=j1ds 导出为：
x ( t ) = 1 2 π j ∫ σ − j ∞ σ + j ∞ X ( s ) e s t d s x(t) = \frac{1}{2 \pi j} \int_{\sigma -j\infty}^{\sigma + j\infty} X(s) e^{st} ds x(t)=2πj1∫σ−j∞σ+j∞X(s)estds
上式称为拉普拉斯逆变换，积分区域可以找在收敛域内的任意一条直线 ℜ s = σ \Re{s} = \sigma ℜs=σ 。
利用零极点图对傅里叶变换进行几何求解
对于一个有理拉普拉斯的形式，可以表示为零点项和极点项的乘积所组成的：
X ( s ) = M ∏ i = 1 R ( s − β i ) ∏ j = 1 P ( s − α j ) X(s) = M \frac{\prod_{i=1}^R (s - \beta_i)}{\prod_{j=1}^P (s - \alpha_j)} X(s)=M∏j=1P(s−αj)∏i=1R(s−βi)
为了求取 X ( s ) X(s) X(s) 在 s = s 1 s=s_1 s=s1 处的值，上面每一项都可以表示为零点极点到点 s 1 s_1 s1 的向量表示，模长就是零点向量长度的乘积除以极点向量的乘积再乘以 M M M ，而辐角就是零点向量的辐角和减去极点向量的辐角，若 M M M 是负的则还要加一个附加辐角 π \pi π 。
特别的，傅里叶变换即在轴 σ = 0 \sigma=0 σ=0 处移动。
拉普拉斯变换的性质
| 性质 | 信号 | 拉普拉斯变换 | 收敛域 |
|---|---|---|---|
| 线性 | a x 1 ( t ) + b x 2 ( t ) ax_1(t) + bx_2(t) ax1(t)+bx2(t) | x X 1 ( s ) + b X 2 ( s ) xX_1(s)+bX_2(s) xX1(s)+bX2(s) | 至少是 R 1 ∩ R 2 R_1 \cap R_2 R1∩R2 |
| 时移 | x ( t − t 0 ) x(t - t_0) x(t−t0) | e − s t 0 X ( s ) e^{-st_0}X(s) e−st0X(s) | R R R |
| s s s 域平移 | e s 0 t x ( t ) e^{s_0t}x(t) es0tx(t) | X ( s − s 0 ) X(s - s_0) X(s−s0) | R + ℜ s 0 R + \Re{s_0} R+ℜs0 |
| 时域尺度变换 | x ( a t ) x(a t) x(at) | 1 ∣ a ∣ X ( s a ) \frac{1}{|a|}X(\frac{s}{a}) ∣a∣1X(as) | R a \frac{R}{a} aR |
| 共轭 | x ∗ ( t ) x^*(t) x∗(t) | X ∗ ( s ∗ ) X^*(s^*) X∗(s∗) | R R R |
| 卷积 | x 1 ( t ) ∗ x 2 ( t ) x_1(t) \ast x_2(t) x1(t)∗x2(t) | X 1 ( s ) X 2 ( s ) X_1(s)X_2(s) X1(s)X2(s) | 至少是 R 1 ∩ R 2 R_1 \cap R_2 R1∩R2 |
| 时域微分 | d x ( t ) d t \frac{dx(t)}{dt} dtdx(t) | s X ( s ) sX(s) sX(s) | 至少是 R R R |
| s s s 域微分 | − t x ( t ) -tx(t) −tx(t) | d X ( s ) s \frac{dX(s)}{s} sdX(s) | R R R |
| 时域积分 | ∫ − ∞ t x ( τ ) d τ \int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau ∫−∞tx(τ)dτ | 1 s X ( s ) \frac{1}{s}X(s) s1X(s) | 至少是 R ∩ { ℜ s > 0 } R \cap \{\Re{s} > 0\} R∩{ℜs>0} |
初值和终值定理：
若 t < 0 , x ( t ) = 0 t < 0,x(t) = 0 t<0,x(t)=0 且在 x ( 0 ) x(0) x(0) 处不包含任何的冲激和高阶的奇异函数，则：
x ( 0 + ) = lim s → ∞ s X ( s ) x(0^+) = \lim_{s \to \infty} sX(s) x(0+)=s→∞limsX(s)
lim t → ∞ x ( t ) = lim s → 0 s X ( s ) \lim_{t \to \infty} x(t) = \lim_{s \to 0} sX(s) t→∞limx(t)=s→0limsX(s)
常用拉普拉斯变换对
| 信号 | 变换 | 收敛域 |
|---|---|---|
| δ ( t ) \delta(t) δ(t) | 1 1 1 | 全部 s s s |
| u ( t ) u(t) u(t) | 1 s \frac{1}{s} s1 | ℜ s > 0 \Re{s} > 0 ℜs>0 |
| − u ( − t ) -u(-t) −u(−t) | 1 s \frac{1}{s} s1 | ℜ s < 0 \Re{s} < 0 ℜs<0 |
| t n − 1 ( n − 1 ) ! u ( t ) \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}u(t) (n−1)!tn−1u(t) | 1 s n \frac{1}{s^n} sn1 | ℜ s > 0 \Re{s} > 0 ℜs>0 |
| − t n − 1 ( n − 1 ) ! u ( − t ) -\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}u(-t) −(n−1)!tn−1u(−t) | 1 s n \frac{1}{s^n} sn1 | ℜ s < 0 \Re{s} < 0 ℜs<0 |
| e − a t u ( t ) e^{-at}u(t) e−atu(t) | 1 s + a \frac{1}{s+a} s+a1 | ℜ s > − a \Re{s}>-a ℜs>−a |
| − e − a t u ( − t ) -e^{-at}u(-t) −e−atu(−t) | 1 s + a \frac{1}{s+a} s+a1 | ℜ s < − a \Re{s}<-a ℜs<−a |
| t n − 1 ( n − 1 ) ! e − a t u ( t ) \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}u(t) (n−1)!tn−1e−atu(t) | 1 ( s + a ) n \frac{1}{(s+a)^n} (s+a)n1 | ℜ s > − a \Re{s}>-a ℜs>−a |
| − t n − 1 ( n − 1 ) ! e − a t u ( − t ) -\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}u(-t) −(n−1)!tn−1e−atu(−t) | 1 ( s + a ) n \frac{1}{(s+a)^n} (s+a)n1 | ℜ s < − a \Re{s}<-a ℜs<−a |
| δ ( t − T ) \delta(t - T) δ(t−T) | e − s T e^{-sT} e−sT | 全部 s s s |
| [ cos ω 0 t ] u ( t ) [\cos{\omega_0 t}]u(t) [cosω0t]u(t) | s s 2 + ω 0 2 \frac{s}{s^2 + \omega_0^2} s2+ω02s | ℜ s > 0 \Re{s} > 0 ℜs>0 |
| [ sin ω 0 t ] u ( t ) [\sin{\omega_0 t}]u(t) [sinω0t]u(t) | ω 0 s 2 + ω 0 2 \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} s2+ω02ω0 | ℜ s > 0 \Re{s} > 0 ℜs>0 |
| [ e − a t cos ω 0 t ] u ( t ) [e^{-at}\cos{\omega_0 t}]u(t) [e−atcosω0t]u(t) | s + a ( s + a ) 2 + ω 0 2 \frac{s + a}{(s+a)^2 + \omega_0^2} (s+a)2+ω02s+a | ℜ s > − a \Re{s} > -a ℜs>−a |
| [ e − a t sin ω 0 t ] u ( t ) [e^{-at}\sin{\omega_0 t}]u(t) [e−atsinω0t]u(t) | ω 0 ( s + a ) 2 + ω 0 2 \frac{\omega_0}{(s+a)^2 + \omega_0^2} (s+a)2+ω02ω0 | ℜ s > − a \Re{s} > -a ℜs>−a |
| u n ( t ) = d n δ ( t ) d t n u_n(t) = \frac{d^n \delta(t)}{dt^n} un(t)=dtndnδ(t) | s n s^n sn | 全部 s s s |
| u − n ( t ) = u ( t ) ∗ u ( t ) ∗ … n u_{-n}(t) = u(t) \ast u(t) \ast \ldots_n u−n(t)=u(t)∗u(t)∗…n | 1 s n \frac{1}{s^n} sn1 | ℜ s > 0 \Re{s} > 0 ℜs>0 |
拉普拉斯变换分析线性时不变系统
一个LTI系统和拉普拉斯变换的关系直接来自于卷积的性质：
Y ( s ) = H ( s ) X ( s ) Y(s) = H(s)X(s) Y(s)=H(s)X(s)
其中 H ( s ) H(s) H(s) 称为系统函数、传递函数。
- 因果性
一个因果的LTI的单位冲激响应一定是一个右边信号，那么 H ( s ) H(s) H(s) 的收敛域一定是一个右半平面。反之不一定成立。
对于一个有理的系统函数来说，系统的因果性就等效于收敛域位于最右边极点的右边的右半平面。
- 稳定性
对于一个稳定的LTI系统，他的单位冲激响应是绝对可积的，也就等价于存在傅里叶变换，那么当且仅当系统函数 H ( s ) H(s) H(s) 的收敛域包括 j ω j\omega jω 轴的时候，即 ℜ s = 0 \Re{s} = 0 ℜs=0 ，一个LTI系统是稳定的。
特别的，对于因果的LTI系统，其收敛域是右半平面，也就是当且仅当 H ( s ) H(s) H(s) 的全部极点都位于 s s s 平面的左半平面的时候，即全部的极点都有负实部的时候，一个因果的LTI系统是稳定的。
Z 变换
对于离散信号，其单位脉冲响应对于离散的线性时不变系统对复指数 z n z^n zn 的响应为：
y [ n ] = H ( z ) z n y[n] = H(z) z^n y[n]=H(z)zn
其中：
H ( z ) = ∑ n = − ∞ + ∞ h [ n ] z − n H(z) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} h[n]z^{-n} H(z)=n=−∞∑+∞h[n]z−n
若 z = e j ω z = e^{j\omega} z=ejω 则为离散傅里叶变换。
一个离散信号的z变换定义为：
X ( z ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] z − n X(z) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x[n]z^{-n} X(z)=n=−∞∑+∞x[n]z−n
一般的我们通过指数形式表示复指数底数 z = r e j ω z = re^{j\omega} z=rejω ，那么就可以写成：
X ( r e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ [ x [ n ] r − n ] e − j ω n X(re^{j\omega}) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} [x[n]r^{-n}]e^{-j\omega n} X(rejω)=n=−∞∑+∞[x[n]r−n]e−jωn
也就是一个离散信号的z变换等于其 x [ n ] r − n x[n]r^{-n} x[n]r−n 的离散傅里叶变换。
注意到：
X ( e j ω ) = X ( z ) ∣ z = e j ω X(e^{j\omega}) = X(z)|_{z = e^{j \omega}} X(ejω)=X(z)∣z=ejω
那么傅里叶变换就称为在复数 z z z 平面中，半径为 1 1 1 的单位圆上。
同样的，类似与拉普拉斯变换，z变换也存在其收敛域ROC。