信号与系统复习笔记——拉普拉斯变换和Z变换

信号与系统复习笔记——拉普拉斯变换和Z变换

拉普拉斯变换

一个LTI系统对信号 e s t e^{st} est 的响应为:

y ( t ) = H ( s ) e s t y(t) = H(s) e^{st} y(t)=H(s)est

其中特征函数 H ( s ) H(s) H(s) 为:

H ( s ) = ∫ − ∞ + ∞ h ( t ) e − s t d t H(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t)e^{-st} dt H(s)=+h(t)estdt

一个信号的拉普拉斯变换为:

X ( s ) = ∫ − ∞ + ∞ h ( t ) e − s t d t X(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t)e^{-st} dt X(s)=+h(t)estdt

s = j ω s = j\omega s= 的时候,拉普拉斯变换退化为傅里叶变换。

复数 s s s 可以表示为 s = σ + j ω s = \sigma + j\omega s=σ+ ,那么拉普拉斯变换可以表示为:

X ( σ + j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ [ x ( t ) e − σ t ] e − j ω t d t X(\sigma + j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} [x(t)e^{- \sigma t}] e^{- j\omega t} dt X(σ+)=+[x(t)eσt]etdt

这等于信号 x ( t ) e − σ t x(t)e^{- \sigma t} x(t)eσt 的傅里叶变换,我们称 e − σ t e^{- \sigma t} eσt 为拉普拉斯衰减因子。

注意到,一个信号的拉普拉斯变换并非对于所有的 s s s 都收敛,我们称能使拉普拉斯变换积分收敛的所有 s s s 的集合称为 收敛域 或是 ROC。

对于有理的拉普拉斯变换可以表示为:

X ( s ) = N ( s ) D ( s ) X(s) = \frac{N(s)}{D(s)} X(s)=D(s)N(s)

我们称 N ( s ) = 0 N(s) = 0 N(s)=0 的根称为 零点 D ( s ) = 0 D(s) = 0 D(s)=0 的根称为 极点 。在 s s s 平面内标注零点和极点称为零-极点图。

拉普拉斯变换的收敛域

两个不同的信号可能对应一个相同的拉普拉斯变换,但其收敛域却不相同。

性质一: X ( s ) X(s) X(s) 的收敛域在 s s s 平面内由平行于 j ω j\omega 轴的带状区域组成。

因为要满足 x ( t ) e − σ t x(t)e^{-\sigma t} x(t)eσt 绝对可积,因此只和 σ \sigma σ 有关。

性质二: X ( s ) X(s) X(s) 的收敛域内不包含极点。

性质三: 若 x ( t ) x(t) x(t) 是时间有限且有界的信号,那么收敛域就是整个 s s s 平面。

性质四: 若 x ( t ) x(t) x(t) 是右边信号,并且 ℜ s = ω 0 \Re{s} = \omega_0 s=ω0 这条线位于收敛域内,那么 ℜ s > ω 0 \Re{s} > \omega_0 s>ω0 的全部 s s s 值都在收敛域内。

进一步,若点 s 0 s_0 s0 在收敛域内,那么点 s 0 s_0 s0右半平面 收敛。

性质五: 若 x ( t ) x(t) x(t) 是左边信号,并且 ℜ s = ω 0 \Re{s} = \omega_0 s=ω0 这条线位于收敛域内,那么 ℜ s < ω 0 \Re{s} < \omega_0 s<ω0 的全部 s s s 值都在收敛域内。

进一步,若点 s 0 s_0 s0 在收敛域内,那么点 s 0 s_0 s0左半平面 收敛。

性质六: 若 x ( t ) x(t) x(t) 是双边信号,并且存在收敛域,那么收敛域一定是一条带状区域。

因为收敛域内不存在极点,推出下面两个推论:

性质七: 若 x ( t ) x(t) x(t) 的拉普拉斯变换是有理的,那么他的收敛域总是被极点所界定或延伸到无限远处。另外,在收敛域内不包含任何的极点。

性质八: 若 x ( t ) x(t) x(t) 的拉普拉斯变换是有理的,那么若 x ( t ) x(t) x(t) 是右边信号,其收敛域在 s s s 平面上位于最右边极点的右边,若 x ( t ) x(t) x(t) 是左边信号,其收敛域在 s s s 平面上位于最左边极点的左边。

拉普拉斯逆变换

通过傅里叶的逆变换我们可以得到:

x ( t ) e − σ t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ X ( σ + j ω ) e j ω t d ω x(t)e^{-\sigma t} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(\sigma + j\omega) e^{j\omega t} d\omega x(t)eσt=2π1+X(σ+)etdω

得到:

x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ X ( σ + j ω ) e ( σ + j ω ) t d ω x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(\sigma + j\omega) e^{(\sigma+j\omega) t} d\omega x(t)=2π1+X(σ+)e(σ+)tdω

s = σ + j ω s = \sigma + j\omega s=σ+ ω = ( s − σ ) / j \omega = (s - \sigma) / j ω=(sσ)/j 那么 d ω = 1 j d s d\omega = \frac{1}{j} ds dω=j1ds 导出为:

x ( t ) = 1 2 π j ∫ σ − j ∞ σ + j ∞ X ( s ) e s t d s x(t) = \frac{1}{2 \pi j} \int_{\sigma -j\infty}^{\sigma + j\infty} X(s) e^{st} ds x(t)=2πj1σjσ+jX(s)estds

上式称为拉普拉斯逆变换,积分区域可以找在收敛域内的任意一条直线 ℜ s = σ \Re{s} = \sigma s=σ

利用零极点图对傅里叶变换进行几何求解

对于一个有理拉普拉斯的形式,可以表示为零点项和极点项的乘积所组成的:

X ( s ) = M ∏ i = 1 R ( s − β i ) ∏ j = 1 P ( s − α j ) X(s) = M \frac{\prod_{i=1}^R (s - \beta_i)}{\prod_{j=1}^P (s - \alpha_j)} X(s)=Mj=1P(sαj)i=1R(sβi)

为了求取 X ( s ) X(s) X(s) s = s 1 s=s_1 s=s1 处的值,上面每一项都可以表示为零点极点到点 s 1 s_1 s1 的向量表示,模长就是零点向量长度的乘积除以极点向量的乘积再乘以 M M M ,而辐角就是零点向量的辐角和减去极点向量的辐角,若 M M M 是负的则还要加一个附加辐角 π \pi π

特别的,傅里叶变换即在轴 σ = 0 \sigma=0 σ=0 处移动。

拉普拉斯变换的性质

性质 信号 拉普拉斯变换 收敛域
线性 a x 1 ( t ) + b x 2 ( t ) ax_1(t) + bx_2(t) ax1(t)+bx2(t) x X 1 ( s ) + b X 2 ( s ) xX_1(s)+bX_2(s) xX1(s)+bX2(s) 至少是 R 1 ∩ R 2 R_1 \cap R_2 R1R2
时移 x ( t − t 0 ) x(t - t_0) x(tt0) e − s t 0 X ( s ) e^{-st_0}X(s) est0X(s) R R R
s s s 域平移 e s 0 t x ( t ) e^{s_0t}x(t) es0tx(t) X ( s − s 0 ) X(s - s_0) X(ss0) R + ℜ s 0 R + \Re{s_0} R+s0
时域尺度变换 x ( a t ) x(a t) x(at) 1 ∣ a ∣ X ( s a ) \frac{1}{|a|}X(\frac{s}{a}) a1X(as) R a \frac{R}{a} aR
共轭 x ∗ ( t ) x^*(t) x(t) X ∗ ( s ∗ ) X^*(s^*) X(s) R R R
卷积 x 1 ( t ) ∗ x 2 ( t ) x_1(t) \ast x_2(t) x1(t)x2(t) X 1 ( s ) X 2 ( s ) X_1(s)X_2(s) X1(s)X2(s) 至少是 R 1 ∩ R 2 R_1 \cap R_2 R1R2
时域微分 d x ( t ) d t \frac{dx(t)}{dt} dtdx(t) s X ( s ) sX(s) sX(s) 至少是 R R R
s s s 域微分 − t x ( t ) -tx(t) tx(t) d X ( s ) s \frac{dX(s)}{s} sdX(s) R R R
时域积分 ∫ − ∞ t x ( τ ) d τ \int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau tx(τ)dτ 1 s X ( s ) \frac{1}{s}X(s) s1X(s) 至少是 R ∩ { ℜ s > 0 } R \cap \{\Re{s} > 0\} R{s>0}

初值和终值定理:

t < 0 , x ( t ) = 0 t < 0,x(t) = 0 t<0,x(t)=0 且在 x ( 0 ) x(0) x(0) 处不包含任何的冲激和高阶的奇异函数,则:

x ( 0 + ) = lim ⁡ s → ∞ s X ( s ) x(0^+) = \lim_{s \to \infty} sX(s) x(0+)=slimsX(s)

lim ⁡ t → ∞ x ( t ) = lim ⁡ s → 0 s X ( s ) \lim_{t \to \infty} x(t) = \lim_{s \to 0} sX(s) tlimx(t)=s0limsX(s)

常用拉普拉斯变换对

信号 变换 收敛域
δ ( t ) \delta(t) δ(t) 1 1 1 全部 s s s
u ( t ) u(t) u(t) 1 s \frac{1}{s} s1 ℜ s > 0 \Re{s} > 0 s>0
− u ( − t ) -u(-t) u(t) 1 s \frac{1}{s} s1 ℜ s < 0 \Re{s} < 0 s<0
t n − 1 ( n − 1 ) ! u ( t ) \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}u(t) (n1)!tn1u(t) 1 s n \frac{1}{s^n} sn1 ℜ s > 0 \Re{s} > 0 s>0
− t n − 1 ( n − 1 ) ! u ( − t ) -\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}u(-t) (n1)!tn1u(t) 1 s n \frac{1}{s^n} sn1 ℜ s < 0 \Re{s} < 0 s<0
e − a t u ( t ) e^{-at}u(t) eatu(t) 1 s + a \frac{1}{s+a} s+a1 ℜ s > − a \Re{s}>-a s>a
− e − a t u ( − t ) -e^{-at}u(-t) eatu(t) 1 s + a \frac{1}{s+a} s+a1 ℜ s < − a \Re{s}<-a s<a
t n − 1 ( n − 1 ) ! e − a t u ( t ) \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}u(t) (n1)!tn1eatu(t) 1 ( s + a ) n \frac{1}{(s+a)^n} (s+a)n1 ℜ s > − a \Re{s}>-a s>a
− t n − 1 ( n − 1 ) ! e − a t u ( − t ) -\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}u(-t) (n1)!tn1eatu(t) 1 ( s + a ) n \frac{1}{(s+a)^n} (s+a)n1 ℜ s < − a \Re{s}<-a s<a
δ ( t − T ) \delta(t - T) δ(tT) e − s T e^{-sT} esT 全部 s s s
[ cos ⁡ ω 0 t ] u ( t ) [\cos{\omega_0 t}]u(t) [cosω0t]u(t) s s 2 + ω 0 2 \frac{s}{s^2 + \omega_0^2} s2+ω02s ℜ s > 0 \Re{s} > 0 s>0
[ sin ⁡ ω 0 t ] u ( t ) [\sin{\omega_0 t}]u(t) [sinω0t]u(t) ω 0 s 2 + ω 0 2 \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} s2+ω02ω0 ℜ s > 0 \Re{s} > 0 s>0
[ e − a t cos ⁡ ω 0 t ] u ( t ) [e^{-at}\cos{\omega_0 t}]u(t) [eatcosω0t]u(t) s + a ( s + a ) 2 + ω 0 2 \frac{s + a}{(s+a)^2 + \omega_0^2} (s+a)2+ω02s+a ℜ s > − a \Re{s} > -a s>a
[ e − a t sin ⁡ ω 0 t ] u ( t ) [e^{-at}\sin{\omega_0 t}]u(t) [eatsinω0t]u(t) ω 0 ( s + a ) 2 + ω 0 2 \frac{\omega_0}{(s+a)^2 + \omega_0^2} (s+a)2+ω02ω0 ℜ s > − a \Re{s} > -a s>a
u n ( t ) = d n δ ( t ) d t n u_n(t) = \frac{d^n \delta(t)}{dt^n} un(t)=dtndnδ(t) s n s^n sn 全部 s s s
u − n ( t ) = u ( t ) ∗ u ( t ) ∗ … n u_{-n}(t) = u(t) \ast u(t) \ast \ldots_n un(t)=u(t)u(t)n 1 s n \frac{1}{s^n} sn1 ℜ s > 0 \Re{s} > 0 s>0

拉普拉斯变换分析线性时不变系统

一个LTI系统和拉普拉斯变换的关系直接来自于卷积的性质:

Y ( s ) = H ( s ) X ( s ) Y(s) = H(s)X(s) Y(s)=H(s)X(s)

其中 H ( s ) H(s) H(s) 称为系统函数、传递函数。

  1. 因果性

一个因果的LTI的单位冲激响应一定是一个右边信号,那么 H ( s ) H(s) H(s) 的收敛域一定是一个右半平面。反之不一定成立。

对于一个有理的系统函数来说,系统的因果性就等效于收敛域位于最右边极点的右边的右半平面。

  1. 稳定性

对于一个稳定的LTI系统,他的单位冲激响应是绝对可积的,也就等价于存在傅里叶变换,那么当且仅当系统函数 H ( s ) H(s) H(s) 的收敛域包括 j ω j\omega 轴的时候,即 ℜ s = 0 \Re{s} = 0 s=0 ,一个LTI系统是稳定的。

特别的,对于因果的LTI系统,其收敛域是右半平面,也就是当且仅当 H ( s ) H(s) H(s) 的全部极点都位于 s s s 平面的左半平面的时候,即全部的极点都有负实部的时候,一个因果的LTI系统是稳定的。

Z 变换

对于离散信号,其单位脉冲响应对于离散的线性时不变系统对复指数 z n z^n zn 的响应为:

y [ n ] = H ( z ) z n y[n] = H(z) z^n y[n]=H(z)zn

其中:

H ( z ) = ∑ n = − ∞ + ∞ h [ n ] z − n H(z) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} h[n]z^{-n} H(z)=n=+h[n]zn

z = e j ω z = e^{j\omega} z=e 则为离散傅里叶变换。

一个离散信号的z变换定义为:

X ( z ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] z − n X(z) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x[n]z^{-n} X(z)=n=+x[n]zn

一般的我们通过指数形式表示复指数底数 z = r e j ω z = re^{j\omega} z=re ,那么就可以写成:

X ( r e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ [ x [ n ] r − n ] e − j ω n X(re^{j\omega}) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} [x[n]r^{-n}]e^{-j\omega n} X(re)=n=+[x[n]rn]ejωn

也就是一个离散信号的z变换等于其 x [ n ] r − n x[n]r^{-n} x[n]rn 的离散傅里叶变换。

注意到:

X ( e j ω ) = X ( z ) ∣ z = e j ω X(e^{j\omega}) = X(z)|_{z = e^{j \omega}} X(e)=X(z)z=e

那么傅里叶变换就称为在复数 z z z 平面中,半径为 1 1 1 的单位圆上。

同样的,类似与拉普拉斯变换,z变换也存在其收敛域ROC。

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