高中奥数 2021-07-02

2021-07-02-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P78 习题6）

正整数,满足,令,求能取到的所有整数值.

解

易验证,时,.

时,.所以,,从而矛盾.因此.

当时,由可得,由此知当时,成立,这说明可取的任意整数.

当时,由与为整数矛盾.

所以可取的值为.

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（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P78 习题7）

在一个由个方格组成的棋盘中的每个方格上各放一个钱币.第一次搬动是将某一个方格上的钱币放在相邻的一个方格中的钱币上,左边或右边都可以,但是不能出棋盘.以后的每次搬动是将某个方格中的所有钱币(设有个)搬到与此方格相邻的第个位置的方格中,左或右都可以,但是不能出棋盘.试证:能经过次搬动,将所有钱币都集中在一个方格中.

证明

设为奇数,记.考虑第个方格,将其中钱币向左运动一次,于是第个方格中有两个钱币,而第个方格中无钱币.将第个方格中的钱币搬到第个方格中,这样依次从左到右,再从右到左,经过次运动,便将钱币都放在最右边那个方格中,而其余方格中无钱币.

设为偶数,记.考虑第个方格,将其中钱币向右运动一次,于是第个方格中有两个钱币,而第个方格中无钱币.将第个方格中的钱币搬到第个方格中,这样依次从右到左,再从左到右,经过次运动,便将钱币都放在最右边那个方格中,而其余方格中无钱币.

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（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P78 习题8）

求满足的所有正整数组.

解

不妨设.

若,则以除等式两边得,其中能整除上式左边,而不能整除其右边,矛盾.

若,则可得,应有,从而,上式又可约简为,显然也不成立.

于是,必有,此时原式为.

所以,.

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（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 分类原则 P78 习题9）

设整数,是小于的最大质数.若,是一个合数,且,证明:能整除.

证明

因为是合数,故设

若,(i),则,,从而,.

故.所以.

(ii),则,.因为,则,,.从而.故.所以,.

若,因为,假设不为质数,则.因为,则.于是归入的情况.不妨设为质数,则.因为是小于的最大质数,则.从而,.所以,.