【3D数学基础：图形与游戏开发】矩阵（三）

正交矩阵

正交矩阵是一种特殊的方阵。

一、运算法则

若方阵M是正交的，则当且仅当M与它的的转置MT的乘积等于单位矩阵：

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如果一个矩阵是正交的，那么它的转置等于它的逆：

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这是一条非常有用的性质，因为在实际中经常需要计算矩阵的逆，而3D图形计算中正交矩阵出现得又是如此频繁，例如旋转和镜像矩阵是正交的。如果知道矩阵是正交的，就可以完全避免计算逆矩阵了。

二、判断矩阵正交

若一个矩阵是正交的，它必须满足下列条件：
①矩阵每一行都是单位向量
②矩阵所有行相互垂直
对矩阵的列也能得到类似的条件，所以能得出，如果M是正交的，那么它的转置也是正交的：

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！！注！！
计算逆矩阵是，仅在预先知道矩阵是正交的情况下才能利用正交性的优点。如果预先不知道，那么检查正交性经常是浪费时间。即使在最好的情况下，先检查正交性以确定矩阵是否正交再进行转置，和一开始就进行求逆运算将耗费同样多的时间。而如果矩阵不是不是正交的，则完全是浪费时间。