LeetCode 1542. Find Longest Awesome Substring【异或前缀和,哈希表,字符串】困难
本文属于「征服LeetCode」系列文章之一，这一系列正式开始于2021/08/12。由于LeetCode上部分题目有锁，本系列将至少持续到刷完所有无锁题之日为止；由于LeetCode还在不断地创建新题，本系列的终止日期可能是永远。在这一系列刷题文章中，我不仅会讲解多种解题思路及其优化，还会用多种编程语言实现题解，涉及到通用解法时更将归纳总结出相应的算法模板。
为了方便在PC上运行调试、分享代码文件，我还建立了相关的仓库：https://github.com/memcpy0/LeetCode-Conquest。在这一仓库中，你不仅可以看到LeetCode原题链接、题解代码、题解文章链接、同类题目归纳、通用解法总结等，还可以看到原题出现频率和相关企业等重要信息。如果有其他优选题解，还可以一同分享给他人。
由于本系列文章的内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏征服LeetCode系列文章目录一文以作备忘。
给你一个字符串 s 。请返回 s 中最长的 超赞子字符串 的长度。「超赞子字符串」需满足满足下述两个条件：
- 该字符串是
s的一个非空子字符串 - 进行任意次数的字符交换后，该字符串可以变成一个回文字符串
示例 1：
输入：s = "3242415"
输出：5
解释："24241" 是最长的超赞子字符串，交换其中的字符后，可以得到回文 "24142"
示例 2：
输入：s = "12345678"
输出：1
示例 3：
输入：s = "213123"
输出：6
解释："213123" 是最长的超赞子字符串，交换其中的字符后，可以得到回文 "231132"
示例 4：
输入：s = "00"
输出：2
提示：
1 <= s.length <= 10^5s仅由数字组成
与本题相似的题目（前缀和+异或）如下：
- 1371. 每个元音包含偶数次的最长子字符串
- 1915. 最美子字符串的数目
- 1177. 构建回文串检测，与本题非常相似，只是本题不允许替换，且是为了找「重排后最长的回文子串」。
解法 异或前缀和+哈希表
首先分析一下「超赞子字符串」的性质：字符串 s s s 中的一个子串 s ′ s' s′ ，如果其中的字符能以某种顺序组成一个回文串，那么该串就是一个「超赞子字符串」。
这就需要， s ′ s' s′ 中最多只有一个字符出现了奇数次，其余的所有字符都出现了偶数次。因为对于任意一个回文串，如果它的回文中心是单个字符（例如 a b c b a abcba abcba ），回文中心的字符出现了奇数次，其余所有字符根据对称性出现了偶数次；如果它的回文中心是两个相同字符（例如 a b c c b a abccba abccba ），那么所有字符根据对称性都出现了偶数次。
因此，对于任意一个子串 s ′ s' s′ 而言，我们只需要关心：它的每一个字符出现了奇数次还是偶数次。由于字符串 s s s 中仅包含字符 0 0 0 到 9 9 9 ，因此我们可以用一个长度为 10 10 10 的 0 − 1 0−1 0−1 序列来表示任意一个子串 s ′ s' s′ 。该序列从低到高的第 i i i 位对应着 s ′ s' s′ 中出现字符 i i i 的奇偶性：具体地， 0 0 0 对应着出现了偶数次， 1 1 1 对应着出现了奇数次。
举个例子，对于子串 s ′ = 0366613544 s'= \text{0366613544} s′=0366613544 ，其中 0 , 1 , 3 , 4 , 5 , 6 0,1,3,4,5,6 0,1,3,4,5,6 分别出现了 1 , 1 , 2 , 2 , 1 , 3 1,1,2,2,1,3 1,1,2,2,1,3 次，那么对应的 0 − 1 0-1 0−1 序列即为 0001100011 0001100011 0001100011 。注意序列的最高位对应字符 9 9 9 ，最低位对应字符 0 0 0 。
经过上面的分析，就可以对「超赞子字符串」进行枚举，这里用 s [ i : j ] s[i:j] s[i:j] 表示字符串 s s s 中从位置 i i i 到位置 j j j 组成的子串， t [ i : j ] t[i:j] t[i:j] 表示 s [ i : j ] s[i:j] s[i:j] 对应的 0 − 1 0−1 0−1 序列。
可以从小到大依次枚举「超赞子字符串」的右端点 j j j 。如果存在某个满足 i < j i < j i<j 的位置 i i i ，并且 s [ i : j ] s[i:j] s[i:j] 是「超赞子字符串」，那么必然满足下面的条件：
- t [ 0 : i − 1 ] t[0:i-1] t[0:i−1]与 t [ 0 : j ] t[0:j] t[0:j] 最多只有一位不同。
- 特别地，如果 i = 0 i=0 i=0，那么 s [ 0 : i − 1 ] s[0:i-1] s[0:i−1] 是一个空子串， t [ 0 : i − 1 ] t[0:i-1] t[0:i−1]为全 0 0 0 序列。
这是为什么呢？其实和「前缀和」的思想很类似。 s [ i : j ] s[i:j] s[i:j] 中某个字符的出现次数，就等于它在 s [ 0 : j ] s[0:j] s[0:j] 中的出现次数减去它在 s [ 0 : i − 1 ] s[0:i-1] s[0:i−1] 中的出现次数。如果只考虑出现次数的奇偶性，那么 s [ i : j ] s[i:j] s[i:j] 中某个字符出现的次数为偶数，当且仅当它在 s [ 0 : j ] s[0:j] s[0:j] 和 s [ 0 : i − 1 ] s[0:i-1] s[0:i−1] 中出现的次数均为奇数或者均为偶数，也就是 t [ 0 : j ] t[0:j] t[0:j] 和 t [ 0 : i − 1 ] t[0:i-1] t[0:i−1] 对应的位是相同的。因此，如果 s [ i : j ] s[i:j] s[i:j] 是一个「超赞子字符串」，那么 t [ 0 : j ] t[0:j] t[0:j] 和 t [ 0 : i − 1 ] t[0:i-1] t[0:i−1]最多只有一位不同。
这样一来就可以在遍历枚举 j j j 的同时维护 t [ 0 : j ] t[0:j] t[0:j]，并用哈希映射存储所有之前出现过的 t [ 0 : i ] t[0:i] t[0:i] ，便于后续的查找。对于哈希映射中的每个键值对，键为 t [ 0 : i ] t[0:i] t[0:i] ，值为 i i i 。在枚举 j j j 时，在哈希映射中查询 t [ 0 : j ] t[0:j] t[0:j] 本身、以及将 t [ 0 : j ] t[0:j] t[0:j] 的某一位翻转后得到的 0 − 1 0-1 0−1 序列，查询到的每一个值 i − 1 i-1 i−1 ，都对应着一个「超赞子字符串」 s [ i : j ] s[i:j] s[i:j]。
在这之后，将 ( t [ 0 : j ] , j ) (t[0:j],j) (t[0:j],j) 这一键值对放入哈希映射。注意：如果 t [ 0 : j ] t[0:j] t[0:j] 已经是哈希映射中的一个键，需要忽略这一步操作，这是因为求的是最长的「超赞子字符串」，所以当两个前缀的 0 − 1 0-1 0−1 序列相同时，应当保留较短的前缀，而忽略较长的前缀。
细节：可用一个 [ 0 , 1024 ) [0,1024) [0,1024) 之间的整数来维护 0 − 1 0-1 0−1 序列，这实际上就是 0 − 1 0-1 0−1 序列对应的二进制表示。对于一次翻转操作，如果我们要将 t [ 0 : j ] t[0:j] t[0:j] 的第 k k k 位进行翻转，只要使用
t [ 0 : j ] ⊕ ( 2 k ) t[0:j] \oplus (2^k) t[0:j]⊕(2k) 即可。其中 ⊕ ⊕ ⊕ 表示按位异或运算， 2 k 2^k 2k 可用左移运算 1 < < k 1 << k 1<<k 快速得到。
此外，空前缀（即 i = 0 i = 0 i=0 ）也对应着哈希映射中的一个键值对 ( 0 , − 1 ) (0, -1) (0,−1) 。
class Solution {
public:
int longestAwesome(string s) {
int n = s.size(), xor_sum = 0, ans = 0;
int rec[1024];
memset(rec, -1, sizeof(rec)); // 空前缀对应键值对(0,-1)
for (int i = 0; i < n; ++i) {
xor_sum ^= 1 << (s[i] - '0'); // 特判异或前缀和为0的情况
if (xor_sum == 0 || ~rec[xor_sum]) ans = max(ans, i - rec[xor_sum]);
else rec[xor_sum] = i;
for (int j = 0; j < 10; ++j) {
int t = xor_sum ^ (1 << j);
if (t == 0 || ~rec[t]) // 特判翻转后为0的情况
ans = max(ans, i - rec[t]);
}
}
return ans;
}
};
复杂度分析：
- 时间复杂度： O ( n ∣ Σ ∣ ) O(n |\Sigma|) O(n∣Σ∣) ，其中 n n n 是字符串 s s s 的长度， Σ \Sigma Σ 表示字符集，在本题中字符串只包含 10 10 10 个数字字符， ∣ Σ ∣ = 10 |\Sigma| = 10 ∣Σ∣=10 。
- 空间复杂度： O ( S ) O(S) O(S) ， S = 2 10 = 1024 S=2^{10} = 1024 S=210=1024 为10种小写字母所有奇偶性对应的状态数。