LeetCode每日一题——805. 数组的均值分割

LeetCode每日一题系列

题目：805. 数组的均值分割
难度：困难

---

---

题目

给定你一个整数数组 nums

我们要将 nums 数组中的每个元素移动到 A 数组 或者 B 数组中，使得 A 数组和 B 数组不为空，并且 average(A) == average(B) 。

如果可以完成则返回true ， 否则返回 false 。

注意：对于数组 arr , average(arr) 是 arr 的所有元素的和除以 arr 长度。

示例

示例 1:

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7,8]
输出: true
解释: 我们可以将数组分割为 [1,4,5,8] 和[2,3,6,7], 他们的平均值都是4.5。

示例 2:

输入: nums = [3,1]
输出: false

提示:

1 <= nums.length <= 30
0 <= nums[i] <= 104

思路

折半搜索：
这里仅给出大致思路，详细折半查找的学习见官方题解官方题解

1. 先遍历 A 的前半部分 B=A[:n//2]，得到所有子集和的集合 S
2. 如果 S 中没有 0，再遍历 A 的后半部分 C=A[n//2:]，得到所有子集和的集合 S2
3. 如果 S2 中也没有 0，那遍历 S2 中 的 x，判断 -x 是否在 S 中即可。

注意不能选取整个 A，所以不考虑 x=sum© 的情况。证明：

• C 的子集和都不为 0，那么 C 的任意真子集的和不等于 sum©
• 因此 x=sum© 必然对应整个 C
• B 的子集和都不为 0，那么 B 的任意真子集的和不等于 sum(B)
• 因此 -x=sum(B) 必然对应整个 B

题解

def splitArraySameAverage(self, nums: List[int]) -> bool:
    n, s = len(nums), sum(nums)
    mul = n//gcd(n, s)
    A = [num*mul-mul*s//n for num in nums]
    S = set()
    for x in A[:n//2]:
        S |= {sub+x for sub in S|{0}}
        if 0 in S:
            return True
    S2, rs = set(), sum(A[n//2:])
    for x in A[n//2:]:
        for sub in S2|{0}:
            y = sub+x
            if y != rs and (y==0 or -y in S):
                return True
            S2.add(y)
    return False