扩展卡尔曼滤波在目标跟踪中的应用（2）

上一节的内容中，我们对于扩展卡尔曼EKF算法进行了讲解，今天我们对上一节的内容进行仿真。
话不多说，开整！！！

仿真背景

我们以一个目标的位置信息为例，其状态方程如下所示：
$$X_k=0.5X_{k-1}+\frac{2.5X_{k-1}}{1+X_{k-1}^2}+8\cos (1.2k)+V_k(1)$$
其观测方程为：
$$Z_k=\frac{X_k^2}{20}+W_k(2)$$

其中：
$V_k$和$W_k$分别为过程噪声和量测噪声；
$X_{k-1}$: k-1时刻的状态值；
$X_k$: k时刻的状态值；

从上述的两个公式中，我们可以看到和之前研究的线性方程不一样，此时的状态转移不再是线性转移，因此需要使用EKF进行数据滤波。

那么状态值的预测方程和量测值的预测方程为：
$$X_{k,k-1}=0.5X_{k-1}+\frac{2.5X_{k-1}}{1+X_{k-1}^2}+8\cos (1.2k)(3)$$
$$Z_{k,k-1}=\frac{X_{k|k-1}^2}{20}(4)$$
其中：
$X_{k,k-1}$：k-1时刻对k时刻的状态预测值；
$Z_{k,k-1}$：k-1时刻对k时刻的观测预测值；

一阶线性化

根据上一节的内容，我们先对状态方程（1）线性化，得到状态转移矩阵：

我们对$f(k,X_k)$关于$X_k$求导，可以得到：
$$\Phi (k)=\frac{\partial f}{\partial X}=0.5+\frac{2.5[1-X_{k,k-1}^2]}{[1+X_{k,k-1}^2{]}^2}$$
然后对量测方程线性化，得到量测矩阵：

求导，得到量测矩阵$H$:
$$H(k)=\frac{\partial h}{\partial X}=\frac{X_{k|k-1}}{10}$$

MATLAB仿真

仿真背景

对于一维模型，进行MATLAB仿真，仿真参数设置如下：

• 处置位置X(0) = 11；
• 过程噪声方差：10；
• 量测噪声方差：1
• 仿真次数：50

仿真效果

通过仿真效果可以看到，EKF对于非线性模型的滤波具有较好的滤波效果。

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