求2的N次幂（C++）解决高精度运算

​内容专栏：《C/C++专栏》
本文概括： 计算高精度的2的N次方数字。
本文作者：花 碟
发布时间：2023.6.22

​前言

为什么不直接利用int、float、double等类型进行存储计算，因为它们是存在有效数据范围的， 比如说int的范围是 -2147483648 ~ 2147483647 字节，数值最多占据10位，8字节的 long int 型的取值范围是-9,223,372,036,854,775,808~9,223,372,036,854,775,807，而如果想存储更大的数字的话，有效范围之内并不能容忍得下，超出的数据就会导致精度的丢失，故而以下解法是针对高精度计算问题，利用数组的每一个元素去模拟数值的位数。

求2的N次方，N ≤ 10000

首先，我们应该要把数字存储倒序存储到数组当中，数值的个位放到数组a[0]的位置，十位放到数组a[1]的位置，百位放到数组a[2]的位置……依次类推，为什么要倒序存储呢，因为我们需要对数值进行运算，比如说如果将12345678912345正序存储，将这个数值乘上2，那么可能会涉及到进位运算，如果进位到最高位之后还需要进1，那么此时数组a[0]的位置就不容易修改了，所以我们将最低位放到数组首元素位置。

实现思路：

⚠️注：为了方便理解，我们暂时将画图中给定的数值为 12345678912345。本题的实现，注意数组初始化必须为1，才能保证求2的N次幂得到想要的结果。

首先将2^N转换为一共有多少位，取以10为底的对数，即 log₁₀2^N，转换为N * log₁₀2 ，题目要求N最多取10000，换算大概3010多位，因为肯定含有进位，所以我们将数组的大小定义为3100个，从数组的a[0]位置模拟个位，a[1]位置模拟十位……开始计算，我们需要将数组的元素初始化为1，因为1乘以任何数都是任何数。然后用t来存储当前数值是否需要进行进位，如果是进位的话需要加到下个数值里面去，所以我们写成 t += a[j] * 2; 然后将取模运算得下的个位数，放到b数组对应的位置（实现时，我们不需要开辟b数组，直接对a数组进行覆盖即可，这里方便理解，所以放到b数组之中），再继续运算，上一位进位的t加上本次a数组对应的值乘上2 依然能够整除10，那么结果为1，就表示进位，再给到t，否则为0，表示不进位。……以此类推，最后为了保证数组的有效个数的位置，我们用m来记录，一旦每次乘以2之后，t进位为1，就让m++。最后输出数组中的值，我们就要倒过来输出，我们从m - 1的位置一直输出的0即可，因为m++是后置的，多加了一次，所以m需要减去1。

代码实现：

#include 
const int N = 3300;
using namespace std;

int main() {
  
    // 最低为数字是1，因为它乘以任何数都是任何数
    int a[N] = {1};
    int n;
    cin >> n;
    //m标记进位完后的位置
    int m = 1;
    // 输入的 n 是 2 的幂次，并非乘数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int t = 0;
        // 循环内的数字从低位不断被取出，这些数字都从左到右存放，也就是个位数在最左端，每次从数组a中读取个位十位，分别与 2 相乘
        // 运算后把数字存回原数组
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            t += a[j] * 2;
            a[j] = t % 10;
            t /= 10;
        }
        // 负责进位，for循环最后一个操作是 t / 10，由于乘以2，最大为19， 因此若商为1，必定进位1
        if (t) a[m++] = 1;
    }
	//m多加了1次，减去1
    for (int i = m - 1; i >= 0; i--) cout << a[i];

    return 0;
}

测试结果

输入10000，2¹⁰⁰⁰⁰的结果如下：