【考研线代】二. 矩阵

文章目录

  • 第二章 矩阵
    • 2.1 概念,运算
      • 2.1.1 概念
      • 2.1.2 运算
      • 2.1.3 运算法则
    • 2.2 伴随矩阵,可逆矩阵(非奇异矩阵)
      • 2.2.1 伴随矩阵
      • 2.2.2 可逆矩阵
    • 2.3 初等变换,初等矩阵
      • 2.3.1 概念
      • 2.3.2 重要结论
    • 2.4 分块矩阵
      • 2.4.1 运算法则
      • 2.4.2 解题技巧
    • 2.5 方阵的行列式
    • 2.6 相关错题
    • 2.7 补充
      • 2.7.1 特征值和不同矩阵的对应关系
      • 2.7.2 通法:求解矩阵的逆(二三阶)

第二章 矩阵

2.1 概念,运算

2.1.1 概念

矩阵,n阶矩阵,n阶方阵,零矩阵,同型矩阵(行数与列数分别相等),矩阵相等。

2.1.2 运算

  1. 加法:对应位置相加。要求矩阵同型。
  2. 数乘:全部位置乘数。
  3. 乘法:对应相加的A行乘B列 。要求A列数= B行数。
  4. 幂次:A的k次幂(乘k次自己)。要求A是n阶方阵。

2.1.3 运算法则

  • 加法:满足交换律和结合律
  • 乘法:满足结合律,分配律。但是不满足交换律。
  • 数乘矩阵:满足结合律和分配律。
  • 转置(行列互换):这个需要特别注意下。

( A + B ) T = A T + B T (A+B)^T = A^T + B^T (A+B)T=AT+BT
( k A ) T = k A T (kA)^T = k A^T (kA)T=kAT
( A B ) T = B T A T (AB)^T = B^TA^T (AB)T=BTAT
( A T ) T = A (A^T)^T = A (AT)T=A

特例

  • 对角线矩阵相乘,直接乘对角线上面的元素。
  • n维列向量 × n维行向量 = n阶矩阵
  • n维行向量 × n维列向量 = 1*1矩阵

疑问点

  • 线性代数n维行向量乘n维列向量结果为什么说是一个数 ? 为什么不是一个一行一列的矩阵?
    • 百度回答:矩阵是一个数表,只不过矩阵的运算给这个数表赋予了各种实际的意义.比如代表方程组的系数,表达向量间的线形关系等等.那么他既然本质就是个数表,他们各项分别相乘相加 最后就得到一个数啦 那么1*1的矩阵当然就是一个数。
    • 还有知乎上的一个回答:向量点积
      【考研线代】二. 矩阵_第1张图片

2.2 伴随矩阵,可逆矩阵(非奇异矩阵)

2.2.1 伴随矩阵

伴随矩阵:矩阵A对应行列式|A|的所有代数余子式构成的矩阵A*

【考研线代】二. 矩阵_第2张图片

注意:伴随矩阵第一行第二个的值 是 去除了第二行第一个的值的代数余子式。

相关公式:
A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^* = A^* A = |A|E AA=AA=AE

( A ∗ ) − 1 = ( A − 1 ) ∗ = A ∣ A ∣ (A^*)^{-1} = (A^{-1})^* = \frac{A}{|A|} (A)1=(A1)=AA

( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗ (kA)^* = k^{n-1}A^* (kA)=kn1A

( A ∗ ) T = ( A T ) ∗ (A^*)^T = (A^T)^* (A)T=(AT)

∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^*| = |A|^{n-1} A=An1

( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A ( n > = 2 ) (A^*)^* = |A|^{n-2}A (n>=2) (A)=An2A(n>=2)

秩:
r ( A ∗ ) = { n , r ( A ) = n 1 , r ( A ) = n − 1 0 , r ( A ) < n − 1 r(A^*) = \left\{\begin{matrix}n,r(A)=n \\ 1,r(A)=n-1 \\0,r(A)r(A)=nr(A)=n1r(A)=n10r(A)<n1

技巧
二阶矩阵的求法口诀:主对角线元素互换,副对角线元素加负号。

2.2.2 可逆矩阵

若AB = BA = E,则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵。

定理:

  1. 若A可逆,则 A的逆矩阵唯一(证明:加单位矩阵,再变形)
  2. A可逆 <=> |A|!=0
  3. AB均为n阶且AB = E,则BA = E (可逆)

求逆方法:

  1. 定义法:AB=E

  2. 用伴随关系:(适用2,3阶)
    A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* A1=A1A

  3. 初等行变换(A|E):右侧加一个等阶的单位矩阵,化简左侧的矩阵到单位矩阵,右侧的矩阵就是逆矩阵了。

    【考研线代】二. 矩阵_第3张图片

  4. 分块对角线矩阵:左下角和右上角若为0矩阵,则可以令对角线上的矩阵分别求逆。

2.3 初等变换,初等矩阵

2.3.1 概念

  • 初等变换:初等行变换 + 初等列变换

    • 初等行变换:倍乘,互换,倍加
    • 初等列变换:等价,同上。
  • 初等矩阵:单位矩阵 经过 一次 初等变换 所得到的矩阵

    • 倍乘初等矩阵:E(i(k))
    • 互换初等矩阵: E(i,j)
    • 倍加初等矩阵:E(ij(k))
  • 行阶梯矩阵:A-m×n,满足:(看起来像阶梯)

    • 零行在最底下
    • 非零行的主元的列指标随行指标递增而严格增大。
  • 行最简矩阵:

    • 满足行阶梯
    • 主元都是1 且 主元所在的列其他元素都是0.
  • 矩阵等价,A经过有限次初等变换得到矩阵B,A等价于B.

    • 充要条件:秩相等(r(A) = r(B))

2.3.2 重要结论

  • 初等矩阵的转置仍是初等矩阵。

  • 初等矩阵 均是可逆矩阵,逆矩阵也是初等矩阵。

    • 互换行的逆矩阵是它自己
      E ( i , j ) − 1 = E ( i , j ) E(i,j)^{-1} = E(i,j) E(i,j)1=E(i,j)

    • 倍乘的逆矩阵是它的倒数
      E ( i ( k ) ) − 1 = E ( i ( 1 k ) ) E(i(k))^-1 = E(i(\frac{1}{k})) E(i(k))1=E(i(k1))

    • 倍乘的逆矩阵改成倍乘相反数
      E ( i j ( k ) ) − 1 = E ( i j ( − k ) ) E(ij(k))^{-1} = E(ij(-k)) E(ij(k))1=E(ij(k))

  • 初等矩阵P左乘矩阵A,其乘积PA,就是矩阵A作一次与P相同的行变换

  • 初等矩阵P右乘矩阵A,其乘积AP,就是矩阵A做一次与P相同的列变换

2.4 分块矩阵

2.4.1 运算法则

  • 分块矩阵的乘法:同正常矩阵的乘法。

    【考研线代】二. 矩阵_第4张图片

  • 分块矩阵的转置:大矩阵的转置+小矩阵的转置。
    【考研线代】二. 矩阵_第5张图片

  • 分块矩阵的n次方:
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  • 分块矩阵的逆:正对角线同上,负对角线需要调换AB的位置。
    【考研线代】二. 矩阵_第7张图片

2.4.2 解题技巧

解题技巧1
遇到矩阵乘法,矩阵的幂,矩阵的逆都可以考虑。

解题技巧2
遇到方程组求解,可以考虑按列分块,遇到向量组的秩或按行分块后,转换成向量,秩的关系求解。

  • 若AB = C,则C的行向量可以由B的行向量线性表出。

  • 若给出AX = B,求X:

    • 若A可逆,可以通过左乘一个A的逆。
    • 若A不可逆,可以通过构造X的列向量,重新求小块变量。

2.5 方阵的行列式

主要用于抽象n阶方阵行列式的计算

1. 转 置 矩 阵 的 行 列 式 不 变 : ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ 1.转置矩阵的行列式不变: |A^T| = |A| 1.AT=A

2. 数 乘 矩 阵 的 行 列 式 , 是 原 行 列 式 的 n 次 方 倍 : ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ 2. 数乘矩阵的行列式,是原行列式的n次方倍:|kA| = k^n|A| 2.nkA=knA

3. 两 矩 阵 相 乘 的 行 列 式 : ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ ∣ B ∣ 3. 两矩阵相乘的行列式:|AB| = |A|||B| 3.AB=AB

3. 推 论 : ∣ A 2 ∣ = ∣ A ∣ 2 3.推论:|A^2| = |A|^2 3.A2=A2

4. 逆 矩 阵 的 行 列 式 关 系 : ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 4. 逆矩阵的行列式关系: |A^{-1}| = |A|^{-1} 4.A1=A1

5. 伴 随 矩 阵 的 行 列 式 关 系 : ∣ A ∗ ∣ = ∣ ∣ A ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ n − 1 5. 伴随矩阵的行列式关系: |A^*| = |{|A|}A^{-1}|= |A|^{n-1} 5.A=AA1=An1

  1. 分块矩阵相乘:

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  2. 特征根的公式:若A和B相似,则|A| = |B|

2.6 相关错题

好像都和秩有关,不知道后面会不会理解一点。

已 知 A = [ 2 − 1 3 4 − 2 6 − 2 1 − 3 ] , 求 A 10 已知A = \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \\ -2 & 1 & -3 \\ \end{matrix} \right] ,求A^{10} A=242121363,A10

看到第一行和第三行等比例误以为是行列式直接等0了

解析:
r ( A ) = 1 = > A 2 = l A , 其 中 l = ∑ a i i r(A)=1 => A^2=lA,其中l=\sum a_{ii} r(A)=1=>A2=lA,l=aii

所 以 , A n = l n − 1 A 所以,A^n = l^{n-1}A An=ln1A

A 10 = ( 2 + ( − 2 ) + ( − 3 ) ) 9 A A^{10} = (2+(-2) + (-3))^{9}A A10=(2+(2)+(3))9A

2.7 补充

2.7.1 特征值和不同矩阵的对应关系

【考研线代】二. 矩阵_第9张图片
【考研线代】二. 矩阵_第10张图片

2.7.2 通法:求解矩阵的逆(二三阶)

【考研线代】二. 矩阵_第11张图片

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