矩阵,n阶矩阵,n阶方阵,零矩阵,同型矩阵(行数与列数分别相等),矩阵相等。
( A + B ) T = A T + B T (A+B)^T = A^T + B^T (A+B)T=AT+BT
( k A ) T = k A T (kA)^T = k A^T (kA)T=kAT
( A B ) T = B T A T (AB)^T = B^TA^T (AB)T=BTAT
( A T ) T = A (A^T)^T = A (AT)T=A
特例
疑问点
伴随矩阵:矩阵A对应行列式|A|的所有代数余子式构成的矩阵A*
注意:伴随矩阵第一行第二个的值 是 去除了第二行第一个的值的代数余子式。
相关公式:
A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^* = A^* A = |A|E AA∗=A∗A=∣A∣E
( A ∗ ) − 1 = ( A − 1 ) ∗ = A ∣ A ∣ (A^*)^{-1} = (A^{-1})^* = \frac{A}{|A|} (A∗)−1=(A−1)∗=∣A∣A
( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗ (kA)^* = k^{n-1}A^* (kA)∗=kn−1A∗
( A ∗ ) T = ( A T ) ∗ (A^*)^T = (A^T)^* (A∗)T=(AT)∗
∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^*| = |A|^{n-1} ∣A∗∣=∣A∣n−1
( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A ( n > = 2 ) (A^*)^* = |A|^{n-2}A (n>=2) (A∗)∗=∣A∣n−2A(n>=2)
秩:
r ( A ∗ ) = { n , r ( A ) = n 1 , r ( A ) = n − 1 0 , r ( A ) < n − 1 r(A^*) = \left\{\begin{matrix}n,r(A)=n \\ 1,r(A)=n-1 \\0,r(A)
技巧
二阶矩阵的求法口诀:主对角线元素互换,副对角线元素加负号。
若AB = BA = E,则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵。
定理:
求逆方法:
定义法:AB=E
用伴随关系:(适用2,3阶)
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* A−1=∣A∣1A∗
初等行变换(A|E):右侧加一个等阶的单位矩阵,化简左侧的矩阵到单位矩阵,右侧的矩阵就是逆矩阵了。
分块对角线矩阵:左下角和右上角若为0矩阵,则可以令对角线上的矩阵分别求逆。
初等变换:初等行变换 + 初等列变换
初等矩阵:单位矩阵 经过 一次 初等变换 所得到的矩阵
行阶梯矩阵:A-m×n,满足:(看起来像阶梯)
行最简矩阵:
矩阵等价,A经过有限次初等变换得到矩阵B,A等价于B.
初等矩阵的转置仍是初等矩阵。
初等矩阵 均是可逆矩阵,逆矩阵也是初等矩阵。
互换行的逆矩阵是它自己
E ( i , j ) − 1 = E ( i , j ) E(i,j)^{-1} = E(i,j) E(i,j)−1=E(i,j)
倍乘的逆矩阵是它的倒数
E ( i ( k ) ) − 1 = E ( i ( 1 k ) ) E(i(k))^-1 = E(i(\frac{1}{k})) E(i(k))−1=E(i(k1))
倍乘的逆矩阵改成倍乘相反数
E ( i j ( k ) ) − 1 = E ( i j ( − k ) ) E(ij(k))^{-1} = E(ij(-k)) E(ij(k))−1=E(ij(−k))
初等矩阵P左乘矩阵A,其乘积PA,就是矩阵A作一次与P相同的行变换。
初等矩阵P右乘矩阵A,其乘积AP,就是矩阵A做一次与P相同的列变换。
解题技巧1
遇到矩阵乘法,矩阵的幂,矩阵的逆都可以考虑。
解题技巧2
遇到方程组求解,可以考虑按列分块,遇到向量组的秩或按行分块后,转换成向量,秩的关系求解。
若AB = C,则C的行向量可以由B的行向量线性表出。
若给出AX = B,求X:
主要用于抽象n阶方阵行列式的计算
1. 转 置 矩 阵 的 行 列 式 不 变 : ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ 1.转置矩阵的行列式不变: |A^T| = |A| 1.转置矩阵的行列式不变:∣AT∣=∣A∣
2. 数 乘 矩 阵 的 行 列 式 , 是 原 行 列 式 的 n 次 方 倍 : ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ 2. 数乘矩阵的行列式,是原行列式的n次方倍:|kA| = k^n|A| 2.数乘矩阵的行列式,是原行列式的n次方倍:∣kA∣=kn∣A∣
3. 两 矩 阵 相 乘 的 行 列 式 : ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ ∣ B ∣ 3. 两矩阵相乘的行列式:|AB| = |A|||B| 3.两矩阵相乘的行列式:∣AB∣=∣A∣∣∣B∣
3. 推 论 : ∣ A 2 ∣ = ∣ A ∣ 2 3.推论:|A^2| = |A|^2 3.推论:∣A2∣=∣A∣2
4. 逆 矩 阵 的 行 列 式 关 系 : ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 4. 逆矩阵的行列式关系: |A^{-1}| = |A|^{-1} 4.逆矩阵的行列式关系:∣A−1∣=∣A∣−1
5. 伴 随 矩 阵 的 行 列 式 关 系 : ∣ A ∗ ∣ = ∣ ∣ A ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ n − 1 5. 伴随矩阵的行列式关系: |A^*| = |{|A|}A^{-1}|= |A|^{n-1} 5.伴随矩阵的行列式关系:∣A∗∣=∣∣A∣A−1∣=∣A∣n−1
好像都和秩有关,不知道后面会不会理解一点。
已 知 A = [ 2 − 1 3 4 − 2 6 − 2 1 − 3 ] , 求 A 10 已知A = \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \\ -2 & 1 & -3 \\ \end{matrix} \right] ,求A^{10} 已知A=⎣⎡24−2−1−2136−3⎦⎤,求A10
看到第一行和第三行等比例误以为是行列式直接等0了
解析:
r ( A ) = 1 = > A 2 = l A , 其 中 l = ∑ a i i r(A)=1 => A^2=lA,其中l=\sum a_{ii} r(A)=1=>A2=lA,其中l=∑aii
所 以 , A n = l n − 1 A 所以,A^n = l^{n-1}A 所以,An=ln−1A
A 10 = ( 2 + ( − 2 ) + ( − 3 ) ) 9 A A^{10} = (2+(-2) + (-3))^{9}A A10=(2+(−2)+(−3))9A