代码随想录算法训练营第42天 | 01背包问题理论基础 + 416.分割等和子集

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01背包问题 二维数组

01背包问题 一维/滚动数组

416.分割等和子集 - Medium

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01背包问题 二维数组

理论基础：代码随想录

01 背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

暴力解法：

• 每一件物品其实只有两个状态，取或者不取，所以可以使用回溯法搜索出所有的情况
• 暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化

二维dp数组

• 1 确定dp数组及含义：

        dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少

• 2 递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
• 3 dp数组初始化：所有dp[i][0]均为0；当 j < weight[0]的时候 dp[0][j] 是 0，当j >= weight[0]时，dp[0][j] 是value[0]
• 4 确定遍历顺序：有两个遍历的维度，物品与背包重量，先遍历物品更好理解
• 5 推导dp数组：如下，无参数版

def test_2_wei_bag_problem1():
    weight = [1, 3, 4]
    value = [15, 20, 30]
    bagweight = 4

    # 二维数组
    dp = [[0] * (bagweight + 1) for _ in range(len(weight))]

    # 初始化
    for j in range(weight[0], bagweight + 1):
        dp[0][j] = value[0]

    # weight数组的大小就是物品个数
    for i in range(1, len(weight)):  # 遍历物品
        for j in range(bagweight + 1):  # 遍历背包容量
            if j < weight[i]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

    print(dp[len(weight) - 1][bagweight])

test_2_wei_bag_problem1()

01背包问题 一维/滚动数组

理论基础：代码随想录

推荐 使用一维dp数组的写法，比较直观简洁，而且空间复杂度还降了一个数量级 

在二维dp数组的基础上，其实可以把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。

滚动dp数组：

• 1 dp[j]：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]
• 2 递推公式：dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i；一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的

  dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

• 3 初始化：都初始为0就可以了
• 4 遍历顺序：一维dp遍历的时候，背包是从大到小，倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了；两个嵌套for循环的顺序，先遍历物品嵌套遍历背包容量，不可颠倒
• 5 推导dp数组：无参数版

  def test_1_wei_bag_problem():
      weight = [1, 3, 4]
      value = [15, 20, 30]
      bagWeight = 4
  
      # 初始化
      dp = [0] * (bagWeight + 1)
      for i in range(len(weight)):  # 遍历物品
          for j in range(bagWeight, weight[i] - 1, -1):  # 遍历背包容量
              dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
  
      print(dp[bagWeight])
  
  
  test_1_wei_bag_problem()

416.分割等和子集 - Medium

题目链接：力扣-416. 分割等和子集

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。 

提示： 转换成背包容易为 1/2 数组和的 01背包问题

class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        if sum(nums) % 2 == 1: return False

        bagWeight = sum(nums) // 2
        dp = [0] * (bagWeight + 1)
        for i in range(len(nums)):  # 遍历物品
            for j in range(bagWeight, nums[i] - 1, -1):  # 遍历背包容量
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
        
        if dp[bagWeight] == bagWeight:
            return True
        else:
            return False