Savitsky-Golay 平滑算法

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名称#

Savitsky-Golay平滑算法

作用#

信号平滑处理可以除去高频噪音对数据信号的干扰，是消除噪音最常用的一种方法

算法原理#

通过多项式对移动窗口内的数据进行多项式最小二乘拟合，算出窗口内中心点关于其周围点的加权平均和。
计算公式：
 （3-1）
式（3-1）中的  和  为平滑前、后的数据，  是移动窗口平滑中的权重因子（窗口长度 2r + 1）。
窗口移动多项式拟合的基本思想是：利用多项式对窗口内 N = 2r + 1 的波谱点进行多项式最小二乘拟合，将窗口内等距离的数据拟合成 k 次多项式：
, 
其中  为待定系数或权重。

实例#

以窗口为5的二次多项式为例进行拟合。
设有5个数据对（等间隔）： ，进行二次多项式拟合： 
应用最小二乘法，使误差  达到最小，所以分别对 进行求导 ，得：
 （4-1）
由于等间隔，所以 ，式（4-1）可化为
 （4-2）

注意式（4-2）下标的改变

而
 （4-3）
由式（4-2）和式（4-3）即可求得：
 （4-4）
对于中心点，也即所求的平滑点，其值为：
，
由式（4-4）知
，
故权重为
，即可利用权重对中心点进行平滑

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