阿克曼公式

1. 阿克曼公式

设有如下系统
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+Bu\\ y=Cx\end{array}$$显然，通过矩阵A能够得到其特征多项式
$${\phi }_A(\lambda )={\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0$$通过将控制量设为模态反馈控制（详见模态反馈控制一文）
$$u=-Kx$$系统演变为
$$\dot{x}=\left(A-BK\right)x$$假设期望系统的期望特征多项式为
$${\phi }_w(\lambda )={\lambda }^n+{\gamma }_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +{\gamma }_1\lambda +{\gamma }_0$$那么有阿克曼公式
$$K=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right]\cdot {\left[\begin{array}{cccc}B& AB& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]}^{-1}\cdot {\phi }_w(A)\text{\hspace{1em}(1)}$$其中
$${\phi }_w(A)=A^n+{\gamma }_{n-1}{A}^{n-1}+\cdots +{\gamma }_{1}A+{\gamma }_{0}I\text{\hspace{1em}(2)}$$利用式(1)和(2)，可以计算出模态反馈控制中所需的增益矩阵$K$。

2. 举例

例：设系统的柯西形式为
$$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$$试确定$K_1,K_2$，使得系统的期望特征多项式为${\phi }_w(s)=s^2+4s+3$。

系统为2阶，即$n=2$，故可以先计算$AB$与$A^2$：
$$AB=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right]$$$$A^2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& -3\\ 6& 7\end{array}\right]$$期望的多项式为$s^2+4s+3$，可以得到${\gamma }_0=3,{\gamma }_1=4$。则
$$\begin{array}{rl}{\phi }_w(A)& =A^2+{\gamma }_{1}A+{\gamma }_{0}I\\ & =\left[\begin{array}{cc}-2& -3\\ 6& 7\end{array}\right]+4\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& -2\end{array}\right]\end{array}$$那么，根据式(1)有
$$\begin{array}{rl}K& =\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]\cdot {\left[\begin{array}{cc}B& AB\end{array}\right]}^{-1}\cdot {\phi }_w(A)\\ & =\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]\cdot {\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -3\end{array}\right]}^{-1}\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& -2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]\end{array}$$即：负反馈通路中的矩阵$K$为
$$K=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]$$相应的控制量为
$$u=-Kx=-x_1-x_2$$