Z变换方程转化为差分方程

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将Z变换方程转换为差分方程的过程称为反Z变换。反Z变换是将信号从复频域转换为时间域的过程。如果我们已知一个系统的传递函数,即Z变换方程:

H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) = b n + b n − 1 z − 1 + ⋯ + b 0 z − n 1 a n + a n − 1 z − 1 + ⋯ + a 0 z − n 0 H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{b_n + b_{n-1} z^{-1} + \dots + b_0 z^{-n_1}}{a_n + a_{n-1} z^{-1} + \dots + a_0 z^{-n_0}} H(z)=X(z)Y(z)=an+an1z1++a0zn0bn+bn1z1++b0zn1

其中, X ( z ) X(z) X(z) Y ( z ) Y(z) Y(z) 分别表示输入和输出信号的Z变换, a i a_i ai b i b_i bi 是差分方程的系数。

我们可以通过以下步骤将其转换为差分方程:

  1. H ( z ) H(z) H(z) 进行偏分式分解,得到 H ( z ) H(z) H(z) 的部分分式形式:

H ( z ) = b n + b n − 1 z − 1 + ⋯ + b 0 z − n 1 a n + a n − 1 z − 1 + ⋯ + a 0 z − n 0 = A 1 1 − p 1 z − 1 + A 2 1 − p 2 z − 1 + ⋯ + A n 1 − p n z − 1 H(z) = \frac{b_n + b_{n-1} z^{-1} + \dots + b_0 z^{-n_1}}{a_n + a_{n-1} z^{-1} + \dots + a_0 z^{-n_0}} = \frac{A_1}{1-p_1 z^{-1}} + \frac{A_2}{1-p_2 z^{-1}} + \dots + \frac{A_n}{1-p_n z^{-1}} H(z)=an+an1z1++a0zn0bn+bn1z1++b0zn1=1p1z1A1+1p2z1A2++1pnz1An

其中, p 1 , … , p n p_1,\ldots,p_n p1,,pn H ( z ) H(z) H(z) 的极点, A 1 , … , A n A_1,\ldots,A_n A1,,An 是对应的系数。

  1. 对每一项 A i 1 − p i z − 1 \frac{A_i}{1-p_i z^{-1}} 1piz1Ai 进行反Z变换,得到形如 a i y [ n − i ] a_i y[n-i] aiy[ni] 的项。

  2. 将所有项相加,得到差分方程的形式:

a n y [ n ] + a n − 1 y [ n − 1 ] + ⋯ + a 0 y [ n − n 0 ] = b n x [ n ] + b n − 1 x [ n − 1 ] + ⋯ + b 0 x [ n − n 1 ] a_n y[n] + a_{n-1} y[n-1] + \dots + a_0 y[n-n_0] = b_n x[n] + b_{n-1} x[n-1] + \dots + b_0 x[n-n_1] any[n]+an1y[n1]++a0y[nn0]=bnx[n]+bn1x[n1]++b0x[nn1]

其中, x [ n ] x[n] x[n] y [ n ] y[n] y[n] 分别表示输入和输出信号, a i a_i ai b i b_i bi 是差分方程的系数,它们可以通过 A i A_i Ai p i p_i pi 计算得到。

需要注意的是,反Z变换的结果可能包含复数项,这时需要使用欧拉公式将其转换为实数项。此外,反Z变换的结果也可能包含单位脉冲响应,需要根据初始条件确定其值。

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