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高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）

目录

  • 第一章 函数 极限 连续
    • 第一节 函数
    • 第二节 极限
      • 一、极限的概念与性质
        • 数列的极限
            • 例1
            • 例2
        • 函数的极限
        • 极限的性质（保号性重点 有界性）
            • 例12
            • 例13
            • 例14
        • `函数极限与数列极限的关系`
            • 例15

第一章 函数 极限 连续

第一节 函数

判断有界要用函数的绝对值，并且这里的不等式解法需要注意

高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第1张图片

需要注意这里的论证方式

高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第2张图片

第二节 极限

一、极限的概念与性质

数列的极限

高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第3张图片

奇数子列要收敛于a，偶数子列也需要收敛于a（以2n为例子，若为3n，则余1、余2、余0的子列都要收敛于a）
拓展出去就是，所有的子列都收敛于a，才能说这个数列收敛于a

在这里插入图片描述

例1

高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第4张图片
高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第5张图片

例2

高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第6张图片

函数的极限

  1. 自变量趋于无穷大时函数的极限
    高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第7张图片
  1. 自变量趋于有限值函数的极限

高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第8张图片

需要注意的有左极限以及右极限
在这里插入图片描述
高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第9张图片

需要分左右极限的状况
高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第10张图片
高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第11张图片

极限的性质（保号性重点 有界性）


有界性
数列

数列若收敛则一定有界，反之不成立
有界是有上界或者有下界，上界下界可以相同，这种情况就是收敛

函数

函数极限存在即说明函数在去心邻域有界（局部有界）
反之不成立
局部有界不代表在那个点的函数极限存在

保号性
数列

如果数列趋于无穷时的极限值大于零或者小于零，则存在一个很大的n，使得 x n x_n xn​的值大于零或者小于零
如果一个数列存在一个很大的n，使得 x n x_n xn​的值大于等于零或者小于等于零，则数列极限也大于等于零或者小于等于零
最主要的原因是，取值可能取不到0，但是极限可以到0

函数

道理同数列
高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第12张图片
如果极限值大于则去心邻域也大于
如果函数大于或者大于等于，则极限值大于等于

例12

高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第13张图片

例13

高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第14张图片
高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第15张图片
高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第16张图片
大于什么系数大于零小于一；小于什么系数大于一

高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第17张图片
高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第18张图片

例14

局部有界连续判定

函数极限与数列极限的关系

在这里插入图片描述

例15

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高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限-极限的概念与性质）_第20张图片

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