【LeetCode: 931. 下降路径最小和 | 暴力递归=＞记忆化搜索=＞动态规划 】

算法题

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算法题

题目链接

• 931. 下降路径最小和

⛲ 题目描述

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

示例 1：

输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出：13
解释：如图所示，为和最小的两条下降路径

示例 2：

输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出：-59
解释：如图所示，为和最小的下降路径

提示：

n == matrix.length == matrix[i].length
1 <= n <= 100
-100 <= matrix[i][j] <= 100

求解思路&实现代码&运行结果

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⚡ 暴力法

求解思路

1. 这个题目的求解思路比较简单，直接根据题目的意思就可以知道每一个位置的结果来自何方，得到当前位置的最小和，不断的转移，直到得到最终的结果即可。
2. 有了基本的思路，接下来我们就来通过代码来实现一下。

实现代码

class Solution {

    int[][] matrix;
    int n;

    public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        this.matrix=matrix;
        this.n=matrix.length;
        int min=Integer.MAX_VALUE;
        for (int j=0;j<n;j++){
            min=Math.min(min,process(n-1,j));
        }
        return min;
    }

    public int process(int i, int j) {
        if(j<0||j>=n) return Integer.MAX_VALUE; 
        if(i==0) return matrix[0][j];
        return Math.min(Math.min(process(i-1,j-1),process(i-1,j)),process(i-1,j+1))+matrix[i][j];
    }
}

运行结果

时间复杂度&空间复杂度

时间超限，不要紧，是我们意料之中的结果！

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⚡ 记忆化搜索

求解思路

1. 因为在递归的过程中，会重复的出现一些多次计算的结果，我们通过开辟一个数组，将结果提前缓存下来，算过的直接返回，避免重复计算，通过空间来去换我们的时间。

实现代码

class Solution {

    int[][] matrix;
    int n;
    int[][] dp;

    public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        this.matrix=matrix;
        this.n=matrix.length;
        int min=Integer.MAX_VALUE;
        dp=new int[n][n];
        for(int i=0;i<n;i++) Arrays.fill(dp[i],Integer.MAX_VALUE);
        for (int j=0;j<n;j++){
            min=Math.min(min,process(n-1,j));
        }
        return min;
    }

    public int process(int i, int j) {
        if(j<0||j>=n) return Integer.MAX_VALUE; 
        if(i==0) return dp[i][j]=matrix[0][j];
        if(dp[i][j]!=Integer.MAX_VALUE) return dp[i][j];
        return dp[i][j]=Math.min(Math.min(process(i-1,j-1),process(i-1,j)),process(i-1,j+1))+matrix[i][j];
    }
}

运行结果

通过缓存，将重复计算的结果缓存下来，通过。

时间复杂度&空间复杂度

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⚡ 动态规划

求解思路

1. 有了递归，有了记忆化搜索，接下来就是动态规划了，直接上手。

实现代码

class Solution {
    public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        int m=matrix.length,n=matrix[0].length;
        int[][] dp=new int[m][n];
        for(int i=0;i<m;i++) Arrays.fill(dp[i],Integer.MAX_VALUE);
        for(int j=0;j<n;j++) dp[0][j]=matrix[0][j];
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(j-1<0){
                    dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j],dp[i-1][j+1])+matrix[i][j];
                }else if(j+1>=m){
                    dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+matrix[i][j];
                }else{
                    dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j-1],Math.min(dp[i-1][j],dp[i-1][j+1]))+matrix[i][j];
                }
            }
        }
        int min=Integer.MAX_VALUE;
        for(int j=0;j<n;j++){
            min=Math.min(min,dp[m-1][j]);
        }
        return min;
    }
}

运行结果

动态规划搞定，大家可以积极的尝试。

时间复杂度&空间复杂度

扩展:还可以继续进行优化算法的空间复杂度

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共勉

最后，我想和大家分享一句一直激励我的座右铭，希望可以与大家共勉！