2021-06-18-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 子集族 P54 习题13）
集合由个元素组成,中最多有多少个这样的3元子集,使得其中任意两个3元子集都恰好有一个公共元.
解
用表示所求的数.设从集合中取出个3元子集,其中任意两个都恰好有一个公共元,分三种可能情况:
(1)集合中的每个元素都至多出现在两个3元子集中.设是其中一个3元子集,则其他任何一个3元子集都与相交,而且所有其他子集中至多有一个含元素,至多有一个含元素,至多有一个含元素.因此,子集最多有个,即.
(2)集合中有一个元素出现在三个3元子集中,但集合的每一个元素至多出现在三个3元子集中,则设是其中一个3元子集,于是其他任意一个子集都与它相交,而且所有其他子集中至多有两个集合包含元素,至多有两个集合包含元素,多有两个集合包含元素.因此,所有子集至多有个,即.
(3)集合中含有元素,它至少属于4个3元子集,则这4子集也应包含元素.否则,这样的子集与4个3元子集中每一个恰有一个公共元素,所以它至少含有4个元素.于是在此情形下,有,即.
当时,显然有,,.当时,集合的每个元素至多属于2个3元子集,否则3元子集的并将含有7个元素,因此情形(1)成立,即.另一方面,设,则3元子集取为,,,.于是.
设,则当出现情形(3)时,3元子集的个数至多为,当出现情形(1)、(2)时,3元子集的个数也至多为7.另一方面,如果集合的元素中的7个为,则有7个3元子集:,,,,,,.于是时.
最后,当时,则不论哪种情形总有.而且如下选取3元子集时达到上界:集合中取一个元素为所有3元子集的公共元,并将所有其他元素配成对（当为偶数时需去掉一个）,且与公共元素一起组成3元子集,故时,.
2021-06-18-02
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 子集族 P54 习题14）
设,从中取出n个子集,满足下列条件:
(i);
(ii);
(iii)对的任何3元子集,都存在某个,使得.
求这样一组子集的个数的最小值.
解
若有且至多属于6个子集,则每个中除之外还有6个元素,共可组成含的三元组的个数为.于是,6个子集共可组成不同的含的三元组的个数至多为90个.另一方面,中所有不同的含三元组的个数为,无法使(iii)成立.所以,为使条件(i)-(iii)成立,中的每个数都至少属于7个子集.这样一来,必有.
用字典排列法可以写出满足题中要求的15个7元子集:
,,,,,,,,,,,,,,．
2021-06-18-03
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 子集族 P54 习题15）
设.对任意（可以相同）,总有,求的最大值.
解
首先,.其次,若且,则以下45对数对中,每对的两个数不能同时属于:, , , , , , , , , , , , .由于,所以以上90个小于2002的数中至少有一半不属于.从而.
再次,若,考虑以下38个数对:, , , , , ,若有某一对中的两个数,则令,有,与题设矛盾!因此这里至少有38个数不属于,再减去,有.又满足要求.对任意, ,即,此时.
2021-06-18-04
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 子集族 P54 习题16）
称子集是好的,如果它有下述性质:“如果,则,且”（空集和都是好的).有多少个好子集?
解
设为属于的偶数的个数.
情形0:.只须确定中的奇数.有个好子集.
情形1:.对偶数的选取有5种可能性.有个好集合.
情形2:.(I)在好子集中的偶数是相邻的.有个好子集.(II)中的两个偶数不相邻.有个好子集.共有56个好子集.
情形3:.(I)中的偶数是相邻的.有个好子集.(II)中的任意两个偶数都不相邻.是惟一的选择.(III)的3个偶数中恰好两个是相邻的.有个好子集.共有25个好子集.
情形4:.(I)或.有4个好子集.(II)且.有3个好子集.共有7个好子集.
情形5:,则,1种可能性.
最后,好子集的总数是.
2021-06-18-05
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 子集族 P54 习题17）
设为给定的正整数,为的所有正因数所成的集合,,且中任一数都不能整除中另一数.求的最大值.
解
显然中的每一个数都有形式,其中,下面用数组表示数.考察如下集合:, , ; , , .共有(为偶数),或(为奇数),即个集合.又因为每个集合中的数至多有一个属于,可得以上集合互不相交且包含所有的数,即.因而可得.
另一方面,考察满足的数组的个数.由条件,可得.(其中当中有一个大于时,共有组解,故应除去)取,可得,且中任意两数不具备倍数关系,否则,不妨设,则,,,,因此,,,产生矛盾!综上可知,.