leetcode 775. 全局倒置与局部倒置(java)

leetcode 775. 全局倒置与局部倒置

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/global-and-local-inversions

题目描述

给你一个长度为 n 的整数数组 nums ，表示由范围 [0, n - 1] 内所有整数组成的一个排列。
全局倒置 的数目等于满足下述条件不同下标对 (i, j) 的数目：
0 <= i < j < n
nums[i] > nums[j]

局部倒置 的数目等于满足下述条件的下标 i 的数目：
0 <= i < n - 1
nums[i] > nums[i + 1]

当数组 nums 中 全局倒置 的数量等于 局部倒置 的数量时，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：
输入：nums = [1,0,2]
输出：true
解释：有 1 个全局倒置，和 1 个局部倒置。

示例 2：
输入：nums = [1,2,0]
输出：false
解释：有 2 个全局倒置，和 1 个局部倒置。

提示：
n == nums.length
1 <= n <= 100000
0 <= nums[i] < n
nums 中的所有整数 互不相同
nums 是范围 [0, n - 1] 内所有数字组成的一个排列

解法一 后缀最小值

一个局部倒置一定是一个全局倒置，因此要判断数组中局部倒置的数量是否与全局倒置的数量相等，只需要检查有没有非局部倒置就可以了。这里的非局部倒置指的是 nums[i]>nums[j]，其中 i

朴素的判断方法需要两层循环，设 n 是 nums 的长度，那么该方法的时间复杂度为 O(n2)，无法通过。

进一步的，对于每一个 nums[i] 判断是否存在一个 j (j>i+1) 使得 nums[i]>nums[j] 即可。这和检查 nums[i]>min⁡(nums[i+2],…,nums[n−1])是否成立是一致的。因此我们维护一个变量 minSuffix=min⁡(nums[i+2],…,nums[n−1])，倒序遍历 [0,n−3] 中的每个 i, 如有一个 i 使得 nums[i]>minSuffix成立，返回 false，若结束遍历都没有返回 false，则返回 true。

代码演示

  /**
     * 全局倒置和局部倒置
     * @param nums
     * @return
     */
    public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int min = nums[n - 1];
        for (int i = n - 3;i >= 0;i--){
            if (nums[i] > min){
                return false;
            }
            min = Math.min(min,nums[i + 1]);
        }
        return true;
    }

数学归纳

nums 是一个由 0∼n−1 组成的排列，设不存在非局部倒置的排列为「理想排列」。由于非局部倒置表示存在一个 j>i+1 使得 nums[i]>nums[j] 成立，所以对于最小的元素 0 来说，它的下标不能够大于等于 2。所以有：

若 nums[0]=0，那么问题转换为 [1,n−1] 区间的一个子问题。
若 nums[1]=0，那么 nums[0]只能为 1，因为如果是大于 1 的任何元素，都将会与后面的 1 构成非局部倒置。此时，问题转换为了 [2,n−1]区间的一个子问题。

根据上述讨论，不难归纳出「理想排列」的充分必要条件为对于每个元素 nums[i]nums[i] 都满足 ∣nums[i]−i∣≤1。

代码演示

class Solution {
    public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (Math.abs(nums[i] - i) >= 2) return false;
        }
        return true;
    }
}

上期算法

leetcode 878. 第 N 个神奇数字