复数@一元二次方程在复数域内的解

数系的扩充脉络

• 自然数系$\to$有理数系$\to$实数系$\to$复数系
• 用符号表示$\mathbb{N}⫋\mathbb{Q}⫋\mathbb{R}⫋\mathbb{C}$

多项式方程解在不同数系下的个数

• 考虑一元三次方程$x^3-x=0$容易求解并验证其有3个解:$x_1=-1,x_2=0,x_3=1$,因此该方程有3个实数解
• 而方程$x^3-1=0$却只有一个实数解$x=1$
• 可见,在实数范围内,方程解的个数和方程次数的关系并不确定
• 由数系扩充对同一个方程解的个数的作用,可以考虑再次对实数系扩充,使得一元$n$次方程有$n$个解(如果有重根,累计重数)
  • 事实上,在复数系中,的代数基本定理描述的就是这样性质:复数系的一元n次方程在复数范围内恰好有n个根
• 由此引入虚数(imaginary number)和复数(complex number)的概念

虚数单位

• 虚数是不属于实数范围内的数,相较于实数是一个全新引进的数
• 人们把虚数定义为方程$x^2=-1$的解,并把这个解记为符号$i$(取自虚数英文名字imaginary number的首字母)
  • 虽然方程$x^2=-1$在实数系内无解,但是在更大的数系C中可以有解,显然,$\mathbb{R}⫋\mathbb{C}$
  • $i^2=-1$
  • $i=\sqrt{-1}$
  • $\sqrt{-a}=\sqrt{-1}\sqrt{a}=\sqrt{a}\cdot i$
• 我们利用虚数$i$来定义这样的数系$\mathbb{C}$
• 引入了虚数$i$后,可以确保一元二次方程总有两个根,而判别式仅仅决定了这些根有几个是实数

一元二次方程的解与复数概念的引出

• 引入虚数$i$后,一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0$的解可以表示为

  • $$\begin{gathered} \Delta =b^2-4ac \\ x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}=\{\begin{array}{ll}\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}& \Delta ⩾0\\ \frac{-b\pm \sqrt{-\Delta }\cdot i}{2a}& \Delta <0\end{array} \end{gathered}$$

• 一般地,三次方程可以化为一个一次方程和二次方程:

  • 例如$x^3-1=0$可以写作$(x-1)(x^2+x+1)=0$

    • 计算$x-1=0$和$x^3+x+1=0$可以分别解得根$x_1=1,x_{2,3}=\frac{-1\pm \sqrt{4-1}i}{2}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$

  • 以上方程的根可以统一抽象为形式$a+bi$,($a,b\in \mathbb{R}$),由此引出复数概念

Note:

• 因式分解$x^3-1$时可以考虑余式定理(试根),容易知道$x=1$是方程$x^3-1=0$的一个根,则$x-1$整除$x^3-1$

• 再根据带余除法,可以计算$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

• 设方程$a^3-b^3=0$是关于未知数$a$的方程;由$b=a$是$a^3-b^3=0$的一个根,所以$a-b$是$a^3-b^3$的一个因式

  g(x)	f(x)	q(x)
  $a-b$	$a^3-b^3$ $a^3-a^{2}b$	$a^2$
  	$a^{2}b-b^3$ $a^{2}b-a{b}^2$	$ab$
  	$a{b}^2-b^3$ $a{b}^2-b^3$	$b^2$
  	$0$
  合计		$a^2+ab+b^2$

  • 所以$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

复数

• 设$a,b\in \mathbb{R}$,形如$a+bi$的数称为复数
• 复数通常用小写字母$z$表示,记为$z=a+bi$,$a,b\in \mathbb{R}$,其中$a$称为复数$z$的实部,$b$称为虚部,$i$称为虚数单位
• 任何实数都是复数,其虚部为0
• 全体复数构成的集合称为复数集或复数系,通常用字母$\mathbb{C}$:$\mathbb{C}=\{z|z=a+bi,a,b\in \mathbb{R}\}$
• 显然实数集$\mathbb{R}$是复数集$\mathbb{C}$的子集,$\mathbb{R}⫋\mathbb{C}$

虚数

• 复数中除了实数意外的数就是虚数,或者说:$a+bi,b\ne 0$就是虚数
  • 当$b\ne 0,a=0$时,$a+bi=bi$是纯虚数(是虚数单位的实数倍)

复数的相等和大小问题

• 如果两个复数$z_1=a_1+b_{1}i$,$z_2=a_2+b_{2}i$满足$a_1=a_2,b_1=b_2$,则$z_1=z_2$,否则$z_1\ne z_2$
• 两个实数总是可以比较大小的,但是两个复数不总是可以比较大小,如果$b_1,b_2$不全为0,则不可以比较大小,即只有两个复数都是实数时才可以比较大小
  • 其他情况,比如虚数和实数时不能比较大小的,虚数和虚数也不能比大小
  • 但两个复数总是可以判断相等或不相等

复数的集合意义

• 根据复数相等的定义,复数$z=a+bi$被一个有序实数对$(a,b)$唯一确定
• 每一个有序实数对$(a,b)$在平面直角坐标系中又唯一确定一点$Z(a,b)$或一个向量$OZ$
• 可见,每一个复数对应平面直角坐标系中唯一的一个点或向量
• 反之,平面直角坐标中的每一个点或向量,也唯一对应一个有序实数对
• 通过有序数对,建立复数$z=a+bi$和点$Z(a,b)$或向量$OZ$之间的一 一对应关系
• 点$Z(a,b)$或向量$OZ=(a,b)$是复数$z$的几何表示
• $z=a+bi\leftrightarrow (a,b)\leftrightarrow Z(a,b)$

复平面

• 建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面
• 复平面内,$x$轴称为实轴,$y$轴称为虚轴
  • $x$轴的单位是1,$y$轴的单位是$i$,
  • 实轴与虚轴的交点称为原点(原点(0,0)对应复数0)
  • 实轴上的点都表示实数
  • 虚轴上的点都表示纯虚数(除原点外)

复数的模(长度)

• 设$OZ=a+bi$,$a,b\in \mathbb{R}$,则向量$OZ$的长度称为复数$a+bi$的模,也称绝对值,记为$|a+bi|$
• 若$b=0$,则$|a+bi|=|a|$
• 由向量长度的计算公式:$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$

共轭复数

• 如果两个复数$z_1=a_1+b_{1}i,z_2=a_2+b_{2}i$满足$a_1=a_2,b_1+b_2=0$,则$z_1$和$z_2$互为共轭复数