5. 最长回文子串 动态规划 解法2

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暴力解法，判断每一种可能，我们想，是不是判断的太多了，比如已知aba是回文串，那么判断babab串时需要从头开始一步一步判断吗？答案是不需要的，我们可以利用动态规划来记录状态，并且使用状态转移方程减少不必要的判断

首先定义状态 一维数组 dp[i,j]，表示从第i个到第j个字符来表示是否是回文串，然后定义状态转移方程
dp[i,j]=dp[i+1][j-1]&&str[i]==str[j]

表示判断dp[i,j] 是否回文串，首先得满足 dp[i+1][j-1] 是回文串 且 str[i]==str[j]

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我们模拟一下

首先
1、dp[0][0]: b==b,dp[0][0]=true;
2、dp[0][1]: b!=a,dp[0][1]=false;
3、dp[0][2]:(b==b&&dp[1][1]);
...

这时候发现 dp[1][1] 还没赋值，还没有这个状态？
而且我们发现，从头遍历的字符串都长，要想重复利用，也是重复利用从后面开头的字符串，所以状态的递推需要从后面开始

我们倒置再模拟一下
首先

dp[5][5]: d==d dp[5][5]=true;
dp[4][4]: b==b dp[4][4]=true;
dp[4][5]=(b==d)=false
dp[3][3]=true,dp[3,4]=(a==b)=false;
dp[3][5]=((a==d)&&dp[4][4])=false
...
可见，我们成功使用了之前已经判断的字符串，状态重复使用成功

不过我们使用了双层循环，时间复杂度仍然是log(n^2)

  /**
     * dp[i][j]  表示 从i 到j  的字符串是否是回文
     * 状态转移公式   dp[i][j]=dp[i+1][j-1]&&s[i]==s[j]
     *
     * @param s
     * @return
     */
    public String longestPalindrome(String s) {

        boolean[][] dp = new boolean[s.length()][s.length()];

        int start = 0;
        int max = 1;
        for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i; j < s.length(); j++) {


                boolean sret = (s.charAt(i) == s.charAt(j));

                dp[i][j] = sret;

                if (i + 1 <= j - 1) {
                    dp[i][j] = sret && dp[i + 1][j - 1];
                }


                if (dp[i][j] && (j - i + 1 > max)) {
                    start = i;
                    max = j - i + 1;
                }

            }
        }

        return s.substring(start, start + max);
    }