2022-02-11-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 先猜后证 P092 例04）
是否存在一个由正整数组成的数列,使得每一个正整数都在该数列中恰好出现一次,并且对任意,都有?
解
存在这样的数列.
我们采用递归方法来构造:取,现设(两两不同)已取定,令为不在中出现的最小正整数.由于,故利用中国剩余定理可知:存在无穷多个正整数,使得(记)
取这样的一个,使得,令,.依此定义的数列即符合要求.
说明利用递推方法来处理存在性问题本质上还是一种直接构造的技巧.本题中定义的数列依次写出可以是1,3,2,10,4,,每次增加两项的做法可确保不重复地遍经所有正整数.
2022-02-11-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 先猜后证 P092 例05）
一个由整数组成的数列满足:对任意下标,都有,并且.证明:无论初始值如何选取,都存在正整数,使得该数列从第项起变为常数.
证明
出发点是去证:对任意,存在下标,使得,其中
如果上述结论获证,那么,而是中满足的唯一整数,于是.依此递推,就可证出:当时,都有.
现在来证成立.若否,设存在,使得满足的下标不存在.由于当时,如果数列不是从某一项开始变为0,那么中有无穷多项为正整数,因此,存在,使得,从而,可不妨设(注意,若,则可知对任意,都有),此时,对任意,都有.
由条件,可设,结合反设中没有下标符合,可知对任意,都有,故.利用时,有,得
导致,此式不能对所有都成立,所得矛盾表明成立.
综上可知,命题成立.
说明
利用反证法(或抽屉原则等)是间接得到存在性的基本方法,在处理不存在问题时就更常用了.
2022-02-11-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 先猜后证 P093 例06）
数列定义如下:若正整数在二进制表示下,数码1出现偶数次,则;否则.证明:不存在正整数、,使得对任意,都有
证明
利用的定义可知
如果存在、,使得对都有成立那么由最小数原理,我们可设是这样的正整数对中使最小的数对.
情形一 为偶数,设,.
若为偶数,在中取,则,且
由得,这表明也是使对都成立的正整数对,与的最小性矛盾.
若为奇数,在中取,同上讨论可知
表明也使对都成立,与的最小性矛盾.
情形二为奇数.
当时,要求,这时如果为偶数,那么,矛盾;如果为奇数,设,那么,亦矛盾.
当时,在中令,可得
如果为偶数,设,,那么由知,,这样结合、、可知
(注意,这里用到数列之中的每一项都为0或1.)
现在,若为偶数,设,则,与矛盾;若为奇数,则由为奇数可知,类似讨论可得,结合、、亦得矛盾.
如果为奇数,结合为奇数,由可知,,利用、、得
现在,若,则由的可推出矛盾;若,则由为奇数可知,故,即与矛盾.
综上可知,命题成立.