高中奥数 2021-06-15

2021-06-15-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合刘诗雄子集族 P50 例9）

设为正整数,在数集
中最多选取多少个数,可使任意三个数的和均不为0(三个数可以相同)?

解

设从题中数集中最多选取个数,可使任意三个数的和均不为0.考察子集

其中表示不超的最大整数.知当为偶数时,;当为奇数时,.

设,都是元素为整数的非空集合.定义集合
可以证明至少有个元素.

事实上,不妨设,,则

是一个有项的严格递增的数列,其中每一个数都是集合的元素.

假设是一个满足题设的子集.显然.取

于是,和是集合的两个不相交的子集.由前证知

即.

当为奇数时,就证明了.

当为偶数时,还需要证明是不可能的.

由于,若有

则必有,即.于是

每个集合中至多有一个元素在中.因此,

同理,

由、的定义,知

因此,当为偶数时,.

2021-06-15-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合刘诗雄子集族 P51 例10）

集合,对的任意一个元子集,若存在.使得且,则称集为好集.求最大自然数,使任一含有的元子集都为好集.

分析

抓住的元子集是关键.因为,所以.考虑集合的这样的元素:,.易知.由,,,知.

解

我们证明.

先证.显然的元子集中不存在,使得且.事实上,的最小元素为,它的最小倍数除本身外为,即比的最大元素还大.这样,就不能为中的任一个数.

构造集合

对来说,,而,故除本身外其他倍数都不在中.上面已证的任一非本身的倍数都不在中;而.故中任一元素的倍数不可能为.这样中仍不存在两元素满足且,而中包含了,故.所以.

下证是可取的.反设存在一个含的元子集,不存在这样的,使,则、.

构造如下个抽屉,它包含了中除、、外的所有元素,且每个元素只出现一次
$\begin{aligned}&\left\{1,1 \times 2,1 \times 2^{2}, \cdots, 1 \times 2^{10}\right\}\\&\left\{3,3 \times 2,3 \times 2^{2}, \cdots, 3 \times 2^{9}\right\}\\&\left\{5,5 \times 2,5 \times 2^{2}, \cdots, 5 \times 2^{8}\right\}\\&\cdots \cdots\\&\left\{663,663 \times 2,663 \times 3\right\}\\&\left\{667,667 \times 2\right\}\\&\left\{669,669 \times 2\right\}\\&\cdots \cdots\\&\{1991\},\{1993\},\{1997\} .\end{aligned}$
中除外的其他个元素归入这个抽屉里,定有两个在同一抽屉,而同一抽屉里的数互为倍数关系,矛盾.证毕.

高中奥数 2021-06-15

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