高中奥数 2021-05-23

2021-05-23-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 元素与集合 P10 习题15）

考虑实数在进制中的表达式.是区间内所有这样的数的集合,并且的每位数字是或.如果,求证:.

解

在内和的每位数字是或,因此,和的每位数字是或,从而的每位数字在进制下是、或.

由,,可得.

反过来,对于上的任何一个数,它在进制下的每位数字是、或,显然可以写成两个在进制下的每位数字是或的和.也就是说,都可以写成,的形式.因此,有,故得.

2021-05-23-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 元素与集合 P10 习题16）

设,项的数列:有如下性质:对于的任何一个非空子集(的元素个数记为),在该数列中有相邻的项恰好组成集合.求的最小值.

解

先证明中的每个数在数列中至少出现2次.

假设中的某个数在这个数列中只出现次,由于含有这个数的二元子集共有个,但在数列中含这个数的相邻两项至多有两种取法,因此不可能3个含这个数的二元子集都在这个数列相邻两项中出现.矛盾.

由此可得,.

另一方面,数列满足题设条件,且只有8项.

所以,的最小值为8.

2021-05-23-03

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 元素与集合 P11 习题17）

设集合,现对的任一非空子集,令表示中最大数与最小数之和.求所有这们的的算术平均值.

解法一

设子集,则所有非空子集分成两类和.当时,必有,于是.当时,设、分别是中的最大数与最小数,则、分别是中的最小数与最大数.于是,,.从而,.因此所有的的算术平均值为.

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（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 元素与集合 P11 习题18）

设为满足下列条件的有理数集合:

(1)若,,则,;

(2)对任一有理数,个关系,,中有且仅有一个成立.

证明:是由全体正有理数组成的集合.

证明

对任意的,,由(2)知,之一成立.

再由(1),若,则;若,则.

总之,对任意的非零均有.

取,则.

由(1),,可知全体正整数都属于.

若,由(1),.

同时也知,所以.

因此,含有全体正有理数.

再由(2)知,及全体负有理数不属于,即是由全体正有理数组成的集合.