2021-07-25-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(一) P028 例6）
求出具有下述性质的正整数:它被的所有正整数整除.
解法一
我们首先证明,每个正整数可唯一地表示为形式
(*)
这是因为任意正整数必介于两个相邻的平方数之间,即有正整数,使得.
令,则,又,故整数,从而有形如(*)的表示.
另一方面,若可表示为(*)的形式,则易知,故,由此即知被唯一确定,相应的因此也被确定.
因已知整除,结合(*)知,故、或,即具有形式
.
显然合要求.设,则,故由已知条件知.若,由
及
可见,必须,即,所以.
同样,若,则,从而;
若,则或,相应地.
因此,只可能是,经检验它们均符合要求.
解法二
设,我们证明时没有符合要求的.
假设有这样的,我们将利用、、均整除来产生矛盾.
因为与整除,故,即.
又,故与的最小公倍数整除.
但与及均互素,故与互素,从而.因此
但显然,故
注意,故由上式可得,这可化简为
.
但当时,上式的左边,矛盾.
因此时无解.
而当时易通过逐一检验求出所有符合要求的:及.
2021-07-25-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(一) P029 例7）
证明:从中任意取出个数,其中必有两个数互素.
证明
从中依次取相邻的两个数,配成下面个数对
,
则任意取出的个数必然包含了上述数对中的某一对,因这两数相邻,它们当然互素.
2021-07-25-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(一) P029 例8）
证明:存在连续个正整数,其中恰有个素数.
证明
存在连续个正整数
,
其中每个数都不是素数.
现将其中的数施行如下操作:删去其中最右边的,而在最左边添上.显然,所得的数列
中至多有一个素数.重复这一手续,直至达到后停止.
一次操作后所得的(连续个)正整数中的素数个数,与操作前的1000个正整数中的素数个数相比,或相等,或增、减.
而最终得到的数中,显然有多于个素数,因此,上述操作过程中,必有一次所产生的个连续整数中恰包含个素数.
2021-07-25-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(一) P030 例9）
若一个正整数的标准分解中,每个素约数的幂次都大于,则称它为幂数.证明:存在无穷多个互不相同的正整数,它们及它们中任意多个不同数的和都不是幂数.
证明
设是全体素数,则
(*)
符合要求.
为了验证这一断言,我们将数列中第个数记作.首先,每个都不是幂数.对任意,由(*)知,,但,并且.因此,在
中,第二个因数与互素,于是素数在的标准分解中恰出现一次,故不是幂数.
此外,由于素数有无穷多个,所以(*)中的数也有无穷多个.
2021-07-25-05
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(一) P030 例10）
证明:有无穷多个正整数满足.
证明一
考察最初几个的值,小于的数只有符合要求.我们可期望都符合要求.
证实这件事是一个简单的归纳练习.奠基是显然的.假设对已有,即
,为整数.
则(是一个整数),故,这表明也符合要求,从而完成了上述断言的归纳证明.
证明二
这是一个不同的构造法.关键是注意到:若,则对,有.
事实上,由于是奇数,若(为整数),则必是奇数,所以
是的倍数.由上述的结果,便递推地给出无穷多个符合要求的数:.
2021-07-25-06
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(一) P031 例11）
证明:有无穷多个正整数,满足.
证明
我们采用归纳构造法,其中的关键一着是加强归纳假设.
下面证明:若满足
,(*)
则对于,有
.(**)
事实上,由于是奇数的倍及,故中的整数是一个奇数,所以
是的倍数.
同样,从知为奇数,故
为的倍数.又显然为偶数,故上述的断言得到了证明.
现在,由于满足(),于是用(*)便递推地构造出无穷多个符合要求的数:.