高中奥数 2021-08-14

2021-08-14-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P009 习题04）

半圆的直径是,是的中点.在半圆的同侧,以为直径作半圆.设、是半圆上的点,且.直线交于点,交半圆于点.证明是线段的中点.

证明

图1

如图,取的中点,设、相交于点,在半圆中,是直径所对的圆心角,于是,.

因为,所以,.

在和中,由,,,所以,.故.因此,点和重合.

又是直径所对的圆心角,于是,..因为,所以,.同理.故.

2021-08-14-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P009 习题05）

设、、分别是菱形边、、上的点,且使得.证明:、、三线共点.

证明

图2

如图(a),注意到,,所以,.故。

设、分别是对角线与线段、的交点.因为是和的平分线,则,.从而,或(1).

设线段与对角线交于,易知.则(2).

如图(b),设线段与对角线交于,易知,则(3).
由式(1)、(2)、(3)得,即.

因此,、、三线共点.

2021-08-14-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P009 习题06）

已知等腰和等腰有公共的底边,且.是的中点,是线段内部一点,是线段内部一点,是延长线上一点,且满足.证明:是线段的中点,且.

证明

图3

如图,连结交于.首先,,,,故.

进而,,也是等腰三角形.则.因此,,.于是,、、、四点共圆.

所以,.

从而,,.

下面证明与重合.

由,,得,.

所以,与重合.

因此,所证结论成立.