通过POJ1061青蛙的约会来谈拓展欧几里德算法
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Description
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
Output
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4
对于题目中的数据，详见下表
故，可得两只青蛙跳四次就可以在点3处相遇
对于这道题可以知道，当他们相遇时距离原点的位移是相等的，则假设青蛙跳了t次后，则他们相对于原点的位移是
A：（x+mt）%l
B：（y+nt）%l
则可以列方程（x+mt）-（y+nt）=cl （ c为整数）
则变形得 (m-n)t-cl=y-x;
题目要求的就是要使等式成立时最小时的正整数t
在解决这个问题前，我们首先就应该知道什么是扩展欧几里德算法
即
找出一对整数（x，y），使得ax+by=gcd（a，b）。
注意，这里的x和y不一定是正数，也可能是负数或者0.
下面是扩展欧几里德算法的源程序：（参考刘汝佳的《算法竞赛入门经典》第179页）
1 void gcd ( int a , int b , int &d , int &x , int &y )
2 {//a，b分别代表方程的系数，d返回a，b的最大公约数，x，y返回对应的解
3 if ( ! b )//当b等于0的时候，方程就变成了ax=gcd（a，0）=a，所以此时明显可以得到方程的解为x=1，y=0，此时d就为a
4 d = a , x = 1 , y = 0 ;
5 else
6 {//递归求方程的解，等下证明
7 gcd ( b , a % b , d , y , x ) ;
8 y -= ( a / b ) * x ;
9 }
10 }
书上对该算法没有给出证明，只有“用数学归纳法并不难证明算法的正确性”一笔代过，现在，去我们就来证明该算法的正确性
当b=0时很好理解，详见上面的注释
关键是当b=/=0，则我们先来假设方程的ax+by=gcd（a，b）=d的一个正整数解为x1，y1；别怀疑，这个方程一定有解
则有ax1+by1=gcd（a，b） （1）
又对于方程bx +（a mod b）y =gcd （b ，a mod b )有解x2，y2（假设）
则有bx2+(a mod b)y2=gcd ( b,a mod b) = gcd(a, b) （2）
又a mod b = a - (a/b)*b；
则（2）式变为bx2+(a-(a/b)*b)y2=gcd(a,b);
即 ay2 + b(x2-(a/b)*y2) = gcd (a,b) (3) ;
对比（1）（3）得
x1=y2 ; y1 = x2 - (a/b)*y2
故，ax+by=gcd（a，b）的解只需要在方程bx +（a mod b）y =gcd （b ，a mod b )的解的基础上进行简单的运算就变成原来方程的解，因为gcd不断递推时会有b=0的情况出现，故可以通过递推来得到方程的解
然后得出了关于方程ax+by=gcd（a，b）的解x0，y0，
但如何要求题目所要求的解了；
假设方程是ax+by=c；
现在我们已经知道了ax+by=gcd（a，b）的解x0，y0，即ax0+by0=gcd（a，b）；
则等式两边同乘以c/gcd（a，b）则得
ax0*c/gcd(a,b)+by0*c/gcd(a,b)=c;（则可知人如果c不是gcd（a，b）的倍数则无解）
故可以得到原方程的一个解是x1=x0*c/gcd(a,b)，y1=y0*c/gcd(a,b)，
再根据下面的结论就可以很好的得出此题的答案了
设a，b，c为任意整数。若方程ax+by=c的一组整数解为（x0，y0），则它的任意整数解都可以写成（x0+kb',y0-ka'),其中a'=a/gcd（a，b），b'=b/gcd（a，b），k为任意整数
关于上面的结论很好证明，此处略。
刚开始的时候没有注意到怎样就解答系，WA了两次
参考代码：
1 #include<iostream>
2 #include<cstdlib>
3 #include<cstdio>
4 #include<cstring>
5 #include<algorithm>
6 #include<cmath>
7 using namespace std;
8
9 void gcd ( __int64 a , __int64 b , __int64 &d , __int64 &x , __int64 &y )
10 {
11
12 if ( ! b )
13 d = a , x = 1 , y = 0 ;
14 else
15 gcd ( b , a%b , d , y , x ) , y -= x * ( a / b ) ;
16 }
17
18 int main()
19 {
20 __int64 s , t , m , n , l ;
21 while ( ~ scanf ("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d" , & s , & t , & m , & n , & l ) )
22 {
23 __int64 a , b , d , ans ;
24 __int64 x , y ;
25 a = l ;
26 b = m - n ;
27 ans = t - s ;
28 if ( b < 0 )
29 b = n - m , ans = s - t ;
30 gcd ( a , b , d , x , y ) ;
31 if ( ans % d )//无解出现的情况
32 printf("Impossible\n") ;
33 else
34 {
35 __int64 tmp = l / d ;
36 ans = ( ans / d * y ) % tmp ;//求出答案，因答案要求最小，故还得对答案的“周期”取余
37 if ( ans < 0 )//如果出现的是负数，就要加上周期
38 ans += tmp ;
39 printf ("%I64d\n",ans);
40 }
41 }
42 return 0;
43 }